Ejemplos comunes de conjuntos incontables

No todos los conjuntos infinitos son iguales. Una forma de distinguir entre estos conjuntos es preguntando si el conjunto es contable infinito o no. De esta manera, decimos que los conjuntos infinitos son contables o incontables. Consideraremos varios ejemplos de conjuntos infinitos y determinaremos cuáles son incontables.

Comenzamos descartando varios ejemplos de conjuntos infinitos. Muchos de los conjuntos infinitos en los que pensaríamos de inmediato son infinitamente contables. Esto significa que se pueden poner en una correspondencia uno a uno con los números naturales.

Los números naturales, los enteros y los números racionales son todos infinitamente contables. Cualquier unión o intersección de conjuntos infinitamente contables también es contable. El producto cartesiano de cualquier número de conjuntos contables es contable. Cualquier subconjunto de un conjunto contable también es contable.

La forma más común en que se introducen conjuntos incontables es considerando el intervalo (0, 1) de

El conjunto completo de números reales también es incontable. Una forma de mostrar esto es usar la función tangente uno a uno F ( X ) = bronceado X. El dominio de esta función es el intervalo (-π / 2, π / 2), un conjunto incontable, y el rango es el conjunto de todos los números reales.

Las operaciones de la teoría básica de conjuntos se pueden usar para producir más ejemplos de conjuntos infinitamente incontables:

• Si UN es un subconjunto de si y UN es incontable, entonces también lo es si. Esto proporciona una prueba más directa de que todo el conjunto de números reales es incontable.
• Si UN es incontable y si es cualquier conjunto, entonces la unión UN U si También es incontable.
• Si UN es incontable y si es cualquier conjunto, entonces el producto cartesiano UN X si También es incontable.
• Si UN es infinito (incluso contablemente infinito), entonces el set de poder de UN Es incontable.

Otros dos ejemplos, que están relacionados entre sí, son algo sorprendentes. No todos los subconjuntos de los números reales son infinitamente infinitos (de hecho, los números racionales forman un subconjunto contable de los reales que también es denso). Ciertos subconjuntos son infinitamente infinitos.

Uno de estos incontables subconjuntos infinitos involucra ciertos tipos de expansiones decimales. Si elegimos dos números y formamos cada expansión decimal posible con solo estos dos dígitos, entonces el conjunto infinito resultante es incontable.

Otro conjunto es más complicado de construir y también es incontable. Comience con el intervalo cerrado [0,1]. Elimine el tercio medio de este conjunto, resultando en [0, 1/3] U [2/3, 1]. Ahora quite el tercio medio de cada una de las piezas restantes del conjunto. Entonces (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9) se eliminan. Seguimos de esta manera. El conjunto de puntos que quedan después de eliminar todos estos intervalos no es un intervalo, sin embargo, es infinitamente incontable. Este conjunto se llama Conjunto Cantor.

Hay infinitos conjuntos incontables, pero los ejemplos anteriores son algunos de los conjuntos más comunes.