¿Qué es el conjunto vacío en la teoría de conjuntos?

¿Cuándo nada puede ser algo? Parece una pregunta tonta y bastante paradójica. En el campo matemático de la teoría de conjuntos, es rutinario que nada sea otra cosa que nada. ¿Cómo puede ser esto?

Cuando formamos un conjunto sin elementos, ya no tenemos nada. Tenemos un conjunto sin nada. Hay un nombre especial para el conjunto que no contiene elementos. Esto se llama el conjunto vacío o nulo.

La definición del conjunto vacío es bastante sutil y requiere un poco de reflexión. Es importante recordar que pensamos en un conjunto como una colección de elementos El conjunto en sí es diferente de los elementos que contiene.

Por ejemplo, veremos {5}, que es un conjunto que contiene el elemento 5. El conjunto {5} no es un número. Es un conjunto con el número 5 como elemento, mientras que 5 es un número.

De manera similar, el conjunto vacío no es nada. En cambio, es el conjunto sin elementos. Es útil pensar en los conjuntos como contenedores, y los elementos son esas cosas que ponemos en ellos. Un contenedor vacío sigue siendo un contenedor y es análogo al conjunto vacío.

El conjunto vacío es único, por lo que es completamente apropiado hablar sobre el conjunto vacío, en lugar de un conjunto vacio. Esto hace que el conjunto vacío sea distinto de otros conjuntos. Hay infinitos conjuntos con un elemento en ellos. Los conjuntos {a}, {1}, {b} y {123} tienen cada uno un elemento, por lo que son equivalentes entre sí. Como los elementos mismos son diferentes entre sí, los conjuntos no son iguales.

No hay nada especial en los ejemplos anteriores que tienen cada uno un elemento. Con una excepción, para cualquier número de cuenta o infinito, hay infinitos conjuntos de ese tamaño. La excepción es para el número cero. Solo hay un conjunto, el conjunto vacío, sin elementos.

La prueba matemática de este hecho no es difícil. Primero suponemos que el conjunto vacío no es único, que hay dos conjuntos sin elementos, y luego usamos algunas propiedades de la teoría de conjuntos para mostrar que esta suposición implica una contradicción.

El conjunto vacío se denota con el símbolo ∅, que proviene de un símbolo similar en el alfabeto danés. Algunos libros se refieren al conjunto vacío por su nombre alternativo de conjunto nulo.

Como solo hay un conjunto vacío, vale la pena ver qué sucede cuando las operaciones de conjunto de intersección, unión y complemento se usan con el conjunto vacío y un conjunto general que denotaremos por X. También es interesante considerar el subconjunto del conjunto vacío y cuándo es el conjunto vacío un subconjunto. Estos hechos se recopilan a continuación:

• los intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío es el conjunto vacío. Esto se debe a que no hay elementos en el conjunto vacío, por lo que los dos conjuntos no tienen elementos en común. En símbolos, escribimos X ∩ ∅ = ∅.
• los Unión de cualquier conjunto con el conjunto vacío es el conjunto con el que comenzamos. Esto se debe a que no hay elementos en el conjunto vacío, por lo que no estamos agregando ningún elemento al otro conjunto cuando formamos la unión. En símbolos, escribimos X U ∅ = X.
• los complemento del conjunto vacío es el conjunto universal para la configuración en la que estamos trabajando. Esto se debe a que el conjunto de todos los elementos que no están en el conjunto vacío es solo el conjunto de todos los elementos.
• El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. Esto se debe a que formamos subconjuntos de un conjunto X seleccionando (o no seleccionando) elementos de X. Una opción para un subconjunto es no usar ningún elemento de X. Esto nos da el conjunto vacío.