Intervalo de confianza para una media cuando conocemos Sigma

En Estadística inferencial, uno de los principales objetivos es estimar un desconocido poblaciónparámetro. Empiezas con un muestra estadística, y a partir de esto, puede determinar un rango de valores para el parámetro. Este rango de valores se llama intervalo de confianza.

Los intervalos de confianza son todos similares entre sí de varias maneras. Primero, muchos intervalos de confianza de dos lados tienen la misma forma:

Estimar ± Margen de error

En segundo lugar, los pasos para calcular los intervalos de confianza son muy similares, independientemente del tipo de intervalo de confianza que intente encontrar. El tipo específico de intervalo de confianza que se examinará a continuación es un intervalo de confianza de dos lados para una media poblacional cuando se conoce la población Desviación Estándar. Además, suponga que está trabajando con una población que es Normalmente distribuido.

A continuación se muestra un proceso para encontrar el intervalo de confianza deseado. Aunque todos los pasos son importantes, el primero es particularmente cierto:

1. Consultar condiciones: Comience por asegurarse de que se hayan cumplido las condiciones para su intervalo de confianza. Suponga que conoce el valor de la desviación estándar de la población, denotada por letra griega sigma σ. Además, suponga una distribución normal.
2. Calcular estimado: Estime el parámetro de población, en este caso, la media de la población, mediante el uso de una estadística, que en este problema es la media de la muestra. Esto implica formar un muestra aleatoria simple de la población A veces, puede suponer que su muestra es un muestra aleatoria simple, incluso si no cumple con la definición estricta.
3. Valor crítico: Obtener el valor crítico z^* eso corresponde con su nivel de confianza. Estos valores se encuentran consultando a un tabla de puntuaciones z o mediante el uso del software. Puede usar una tabla de puntaje z porque conoce el valor de la desviación estándar de la población y asume que la población se distribuye normalmente. Los valores críticos comunes son 1.645 para un nivel de confianza del 90 por ciento, 1.960 para un nivel de confianza del 95 por ciento y 2.576 para un nivel de confianza del 99 por ciento.
4. Margen de error: Calcular el margen de error z^* σ /√norte, dónde norte es el tamaño de la muestra aleatoria simple que formó.
5. Concluir: Finalice juntando la estimación y el margen de error. Esto se puede expresar como Estimar ± Margen de error o como Estimación: margen de error a Estimación + Margen de error. Asegúrese de indicar claramente el nivel de confianza que se adjunta a su intervalo de confianza.

Para ver cómo puede construir un intervalo de confianza, analice un ejemplo. Suponga que sabe que los puntajes de IQ de todos los estudiantes de primer año universitarios entrantes se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 15. Tiene una muestra aleatoria simple de 100 estudiantes de primer año, y la puntuación media del coeficiente intelectual de esta muestra es 120. Encuentre un intervalo de confianza del 90 por ciento para el puntaje promedio del coeficiente intelectual de toda la población de estudiantes universitarios de primer año.

Siga los pasos descritos anteriormente:

1. Consultar condiciones: Las condiciones se han cumplido desde que le dijeron que la desviación estándar de la población es 15 y que se trata de una distribución normal.
2. Calcular estimado: Le han dicho que tiene una muestra aleatoria simple de tamaño 100. El coeficiente intelectual promedio para esta muestra es 120, por lo que esta es su estimación.
3. Valor crítico: El valor crítico para el nivel de confianza del 90 por ciento viene dado por z^* = 1.645.
4. Margen de error: Utilizar la fórmula del margen de error y obtener un error de z^* σ /√norte = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
5. Concluir: Concluya poniendo todo junto. Un intervalo de confianza del 90 por ciento para la puntuación media del coeficiente intelectual de la población es de 120 ± 2.467. Alternativamente, puede establecer este intervalo de confianza como 117.5325 a 122.4675.

Los intervalos de confianza del tipo anterior no son muy realistas. Es muy raro conocer la desviación estándar de la población pero no conocer la media de la población. Hay formas de eliminar esta suposición poco realista.

Si bien ha asumido una distribución normal, esta suposición no necesita mantenerse. Buenas muestras, que no exhiben fuerte oblicuidad o tener valores atípicos, junto con un tamaño de muestra lo suficientemente grande, le permite invocar el teorema del límite central. Como resultado, está justificado usar una tabla de puntajes z, incluso para poblaciones que normalmente no están distribuidas.