¿Qué es el cálculo? Definición y aplicaciones prácticas

El cálculo es una rama de las matemáticas que implica el estudio de las tasas de cambio. Antes de que se inventara el cálculo, todas las matemáticas eran estáticas: solo podía ayudar a calcular objetos que estaban perfectamente quietos. Pero el universo se mueve y cambia constantemente. Ningún objeto, desde las estrellas en el espacio hasta las partículas subatómicas o las células en el cuerpo, está siempre en reposo. De hecho, casi todo en el universo se mueve constantemente. El cálculo ayudó a determinar cómo las partículas, las estrellas y la materia realmente se mueven y cambian en tiempo real.

El cálculo se usa en una multitud de campos que normalmente no pensarías que utilizarían sus conceptos. Entre ellos se encuentran física, ingeniería, economía, estadística y medicina. El cálculo también se usa en áreas tan dispares como los viajes espaciales, así como para determinar cómo interactúan los medicamentos con el cuerpo e incluso cómo construir estructuras más seguras. Comprenderá por qué el cálculo es útil en tantas áreas si conoce un poco sobre su historia y sobre lo que está diseñada para hacer y medir.

Conclusiones clave: teorema fundamental del cálculo

El cálculo fue desarrollado en la segunda mitad del siglo XVII por dos matemáticos, Gottfried Leibniz y Isaac Newton. Newton desarrolló por primera vez el cálculo y lo aplicó directamente a la comprensión de los sistemas físicos. Independientemente, Leibniz desarrolló las notaciones utilizadas en el cálculo. En pocas palabras, mientras que las matemáticas básicas usan operaciones como más, menos, tiempos y división (+, -, x y ÷), el cálculo usa operaciones que emplean funciones e integrales para calcular las tasas de cambio.

Esas herramientas permitieron a Newton, Leibniz y otros matemáticos que siguieron calcular cosas como la pendiente exacta de una curva en cualquier punto. La historia de las matematicas explica la importancia del teorema fundamental del cálculo de Newton:

"A diferencia de la geometría estática de los griegos, el cálculo permitió a matemáticos e ingenieros dar sentido a la movimiento y cambio dinámico en el mundo cambiante que nos rodea, como las órbitas de los planetas, el movimiento de los fluidos, etc. "

Mediante el cálculo, los científicos, astrónomos, físicos, matemáticos y químicos ahora podrían trazar la órbita de los planetas y las estrellas, así como el camino de los electrones y protones a nivel atómico.

Hay dos ramas de cálculo: cálculo diferencial e integral. "El cálculo diferencial estudia el cálculo derivado e integral... la integral", señala el Instituto de Tecnología de Massachusetts. Pero hay más que eso. El cálculo diferencial determina la tasa de cambio de una cantidad. Examina las tasas de cambio de pendientes y curvas.

Esta rama se ocupa del estudio de la tasa de cambio de funciones con respecto a sus variables, especialmente a través del uso de derivadas y diferenciales. La derivada es la pendiente de una línea en un gráfico. Encuentra la pendiente de una línea calculando el levantarse sobre la carrera.

Cálculo integral, por el contrario, busca encontrar la cantidad donde se conoce la tasa de cambio. Esta rama se enfoca en conceptos tales como pendientes de líneas y velocidades tangentes. Mientras que el cálculo diferencial se enfoca en la curva misma, el cálculo integral se ocupa del espacio o área debajo La curva. El cálculo integral se usa para calcular el tamaño o valor total, como longitudes, áreas y volúmenes.

El cálculo jugó un papel integral en el desarrollo de la navegación en los siglos XVII y XVIII porque permitió a los marineros usar la posición de la luna para determinar con precisión la hora local. Para trazar su posición en el mar, los navegadores necesitaban poder medir el tiempo y los ángulos con precisión. Antes del desarrollo del cálculo, los navegantes de los barcos y los capitanes no podían hacer nada.

El cálculo, tanto derivado como integral, ayudó a mejorar la comprensión de este importante concepto en términos de la curva de la Tierra, la las naves de distancia tuvieron que viajar alrededor de una curva para llegar a una ubicación específica, e incluso la alineación de la Tierra, los mares y las naves en relación con la estrellas.

El cálculo tiene muchas aplicaciones prácticas en la vida real. Algunos de los conceptos que usan cálculo incluye movimiento, electricidad, calor, luz, armónicos, acústica y astronomía. El cálculo se usa en geografía, visión por computadora (como para la conducción autónoma de automóviles), fotografía, inteligencia artificial, robótica, videojuegos e incluso películas. El cálculo también se usa para calcular las tasas de desintegración radiactiva en la química, e incluso para predecir las tasas de natalidad y mortalidad, así como en el estudio de la gravedad y el movimiento planetario, el flujo de fluidos, el diseño del barco, las curvas geométricas y la ingeniería de puentes.

En física, por ejemplo, el cálculo se usa para ayudar a definir, explicar y calcular el movimiento, la electricidad, el calor, la luz, los armónicos, la acústica, la astronomía y la dinámica. La teoría de la relatividad de Einstein se basa en el cálculo, un campo de las matemáticas que también ayuda a los economistas a predecir cuánto beneficio puede obtener una empresa o industria. Y en construcción naval, el cálculo se ha utilizado durante muchos años para determinar tanto la curva del casco del barco (usando diferencial cálculo), así como el área debajo del casco (usando cálculo integral), e incluso en el diseño general de buques.

Además, el cálculo se usa para verificar las respuestas de diferentes disciplinas matemáticas, como estadística, geometría analítica y álgebra.

Los economistas usan el cálculo para predecir la oferta, la demanda y las ganancias potenciales máximas. La oferta y la demanda, después de todo, se representan esencialmente en una curva, y una curva siempre cambiante.

Los economistas usan el cálculo para determinar la elasticidad precio de la demanda. Se refieren a la curva de oferta y demanda en constante cambio como "elástica", y las acciones de la curva como "elasticidad". Para calcular una medida exacta de elasticidad en un determinado en una curva de oferta o demanda, debe pensar en cambios infinitamente pequeños en el precio y, como resultado, incorporar derivados matemáticos en su elasticidad fórmulas El cálculo le permite determinar puntos específicos en esa curva de oferta y demanda en constante cambio.

"Resumen de cálculo". Instituto de Tecnología de Massachusetts, 10 de enero de 2000, Cambridge, MA.