La teoría de números es una rama de matemáticas eso se refiere al conjunto de enteros. Nos restringimos un poco al hacer esto, ya que no estudiamos directamente otros números, como los irracionales. Sin embargo, otros tipos de numeros reales son usados. Además de esto, el tema de la probabilidad tiene muchas conexiones e intersecciones con la teoría de números. Una de estas conexiones tiene que ver con la distribución de números primos. Más específicamente, podemos preguntar, ¿cuál es la probabilidad de que un entero elegido al azar de 1 a X es un numero primo?
Suposiciones y definiciones
Al igual que con cualquier problema matemático, es importante comprender no solo qué suposiciones se están haciendo, sino también las definiciones de todos los términos clave del problema. Para este problema estamos considerando los enteros positivos, es decir, los números enteros 1, 2, 3... hasta cierto número X. Elegimos al azar uno de estos números, lo que significa que todos X de ellos es igualmente probable que sean elegidos.
Estamos tratando de determinar la probabilidad de que se elija un número primo. Por lo tanto, necesitamos entender la definición de un número primo. Un número primo es un número entero positivo que tiene exactamente dos factores. Esto significa que los únicos divisores de los números primos son uno y el número mismo. Entonces 2,3 y 5 son primos, pero 4, 8 y 12 no son primos. Notamos que debido a que debe haber dos factores en un número primo, el número 1 es no principal.
Solución para números bajos
La solución a este problema es sencilla para números bajos X. Todo lo que necesitamos hacer es simplemente contar los números de primos que son menores o iguales a X. Dividimos el número de primos menor o igual que X por el numero X.
Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de que se seleccione un primo de 1 a 10, debemos dividir el número de primos de 1 a 10 por 10. Los números 2, 3, 5, 7 son primos, por lo que la probabilidad de que se seleccione un primo es 4/10 = 40%.
La probabilidad de que se seleccione un primo de 1 a 50 se puede encontrar de manera similar. Los números primos que son menores de 50 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Hay 15 primos menores o iguales que 50. Por lo tanto, la probabilidad de que se seleccione un primo al azar es 15/50 = 30%.
Este proceso puede llevarse a cabo simplemente contando primos siempre que tengamos una lista de primos. Por ejemplo, hay 25 primos menores o iguales que 100. (Por lo tanto, la probabilidad de que un número elegido al azar entre 1 y 100 sea primo es 25/100 = 25%). Sin embargo, si no tenemos una lista de primos, podría ser computacionalmente desalentador determinar el conjunto de números primos que son menores o iguales a un determinado número X.
El teorema del número primo
Si no cuenta el número de primos que son menores o iguales que X, entonces hay una forma alternativa de resolver este problema. La solución implica un resultado matemático conocido como el teorema del número primo. Esta es una declaración sobre la distribución general de los números primos y se puede usar para aproximar la probabilidad que estamos tratando de determinar.
El teorema del número primo establece que hay aproximadamente X / ln (X) números primos que son menores o iguales a X. Aquí ln (X) denota el logaritmo natural de X, o en otras palabras, el logaritmo con una base de el número mi. Como el valor de X aumenta la aproximación mejora, en el sentido de que vemos una disminución en el error relativo entre el número de primos menor que X y la expresión X / ln (X).
Aplicación del teorema del número primo
Podemos usar el resultado del teorema del número primo para resolver el problema que estamos tratando de abordar. Sabemos por el teorema del número primo que hay aproximadamente X / ln (X) números primos que son menores o iguales a X. Además, hay un total de X enteros positivos menores o iguales a X. Por lo tanto, la probabilidad de que un número seleccionado al azar en este rango sea primo es (X / ln (X) ) /X = 1 / ln (X).
Ejemplo
Ahora podemos usar este resultado para aproximar la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un número primo del primer mil millones enteros Calculamos el logaritmo natural de mil millones y vemos que ln (1,000,000,000) es aproximadamente 20.7 y 1 / ln (1,000,000,000) es aproximadamente 0.0483. Por lo tanto, tenemos aproximadamente un 4,83% de probabilidad de elegir aleatoriamente un número primo de los primeros mil millones de enteros.