¿Cuál es la distribución de Cauchy?

Una distribución de una variable aleatoria es importante no por sus aplicaciones, sino por lo que nos dice acerca de nuestras definiciones. La distribución de Cauchy es uno de esos ejemplos, a veces denominado ejemplo patológico. La razón de esto es que, aunque esta distribución está bien definida y tiene una conexión con un fenómeno físico, la distribución no tiene una media o una varianza. De hecho, esta variable aleatoria no posee un función generadora de momentos.

Definimos la distribución de Cauchy considerando una ruleta, como el tipo en un juego de mesa. El centro de esta ruleta estará anclado en el y eje en el punto (0, 1). Después de girar la ruleta, ampliaremos el segmento de línea de la ruleta hasta que cruce el eje x. Esto se definirá como nuestra variable aleatoria X.

Dejamos que w denote el menor de los dos ángulos que hace la ruleta con el y eje. Suponemos que esta ruleta tiene la misma probabilidad de formar cualquier ángulo que otra, por lo que W tiene una distribución uniforme que varía de -π / 2 a π / 2.

La trigonometría básica nos proporciona una conexión entre nuestras dos variables aleatorias:

X = bronceadoW.

La función de distribución acumulativa deXse deriva de la siguiente manera:

H(X) = PAG(X < X) = PAG(bronceadoW < X) = PAG(W < arctanX)

Luego usamos el hecho de queW es uniforme, y esto nos da:

H(X) = 0.5 + (arctanX)/π

Para obtener la función de densidad de probabilidad, diferenciamos la función de densidad acumulativa. El resultado es h(x) = 1/[π (1 + X²) ]

Lo que hace interesante la distribución de Cauchy es que, aunque la hemos definido utilizando el sistema físico de un spinner aleatorio, una variable aleatoria con una distribución de Cauchy no tiene una media, varianza o momento que genera función. Toda la momentos sobre el origen que se utilizan para definir estos parámetros no existen.

Comenzamos considerando la media. La media se define como el valor esperado de nuestra variable aleatoria y, por lo tanto, E [X] = ∫_-∞^∞X /[π (1 + X²)] dX.

Nos integramos usando sustitución. Si establecemos tu = 1 +X² entonces vemos que dtu = 2X reX. Después de realizar la sustitución, la integral impropia resultante no converge. Esto significa que el valor esperado no existe y que la media no está definida.

Del mismo modo, la función generadora de varianza y momento no está definida.

La distribución de Cauchy lleva el nombre del matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). A pesar de que esta distribución fue nombrada para Cauchy, la información sobre la distribución fue publicada por primera vez por Poisson.