La varianza de una distribución de una variable aleatoria es una característica importante. Este número indica la extensión de una distribución, y se encuentra al cuadrar el Desviación Estándar. Un discreto de uso común distribución es el de la distribución de Poisson. Veremos cómo calcular la varianza de la distribución de Poisson con el parámetro λ.
La distribución de Poisson
Las distribuciones de Poisson se usan cuando tenemos un continuo de algún tipo y contamos cambios discretos dentro de este continuo. Esto ocurre cuando consideramos la cantidad de personas que llegan al mostrador de entradas de cine en el transcurso de una hora, y hacemos un seguimiento de la cantidad de autos que viajan a través de una intersección con una parada de cuatro vías o cuenta la cantidad de fallas que ocurren en una longitud de cable.
Si hacemos algunas suposiciones aclaratorias en estos escenarios, entonces estas situaciones coinciden con las condiciones para un proceso de Poisson. Luego decimos que la variable aleatoria, que cuenta el número de cambios, tiene una distribución de Poisson.
La distribución de Poisson en realidad se refiere a una familia infinita de distribuciones. Estas distribuciones vienen equipadas con un único parámetro λ. El parámetro es positivo. Número Real eso está estrechamente relacionado con el número esperado de cambios observados en el continuo. Además, veremos que este parámetro es igual no solo al media de la distribución pero también la varianza de la distribución.
La función de masa de probabilidad para una distribución de Poisson viene dada por:
F(X) = (λXmi-λ)/X!
En esta expresión, la letra mi es un numero y es la constante matemática con un valor aproximadamente igual a 2.718281828. La variable X puede ser cualquier número entero no negativo.
Cálculo de la varianza
Para calcular la media de una distribución de Poisson, usamos esta distribución función generadora de momentos. Vemos eso:
METRO( t ) = E [mitX] = Σ mitXF( X) = ΣmitX λXmi-λ)/X!
Ahora recordamos la serie Maclaurin para mitu. Dado que cualquier derivada de la función mitu es mitu, todos estos derivados evaluados en cero nos dan 1. El resultado es la serie. mitu = Σ tunorte/norte!.
Mediante el uso de la serie Maclaurin para mitu, podemos expresar la función generadora de momentos no como una serie, sino de forma cerrada. Combinamos todos los términos con el exponente de X. Así METRO(t) = miλ(mit - 1).
Ahora encontramos la varianza tomando la segunda derivada de METRO y evaluando esto en cero. Ya que METRO’(t) =λmitMETRO(t), utilizamos la regla del producto para calcular la segunda derivada:
METRO’’(t)=λ2mi2tMETRO’(t) + λmitMETRO(t)
Evaluamos esto en cero y encontramos que METRO’’(0) = λ2 + λ. Luego usamos el hecho de que METRO’(0) = λ para calcular la varianza.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Esto muestra que el parámetro λ no es solo la media de la distribución de Poisson, sino también su varianza.