¿La probabilidad de rodar una casa llena en Yahtzee?

El juego de Yahtzee implica el uso de cinco dados estándar. En cada turno, los jugadores reciben tres tiradas. Después de cada lanzamiento, se puede mantener cualquier cantidad de dados con el objetivo de obtener combinaciones particulares de estos dados. Cada tipo diferente de combinación vale una cantidad diferente de puntos.

Uno de estos tipos de combinaciones se llama full house. Como una casa llena en el juego de póker, esta combinación incluye tres de un cierto número junto con un par de un número diferente. Dado que Yahtzee implica el lanzamiento aleatorio de dados, este juego puede analizarse usando la probabilidad para determinar la probabilidad de lanzar una casa llena en un solo lanzamiento.

Comenzaremos declarando nuestras suposiciones. Suponemos que los dados utilizados son justos e independientes entre sí. Esto significa que tenemos un espacio de muestra uniforme que consiste en todas las tiradas posibles de los cinco dados. Aunque el juego de Yahtzee permite tres tiradas, solo consideraremos el caso de que obtengamos una casa completa en una sola tirada.

Ya que estamos trabajando con un uniformeespacio muestral, el cálculo de nuestra probabilidad se convierte en el cálculo de un par de problemas de conteo. La probabilidad de una casa llena es la cantidad de formas de rodar una casa llena, dividida por la cantidad de resultados en el espacio muestral.

El número de resultados en el espacio muestral es sencillo. Dado que hay cinco dados y cada uno de estos dados puede tener uno de seis resultados diferentes, el número de resultados en el espacio muestral es 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

A continuación, calculamos la cantidad de formas de rodar una casa llena. Este es un problema más difícil. Para tener una casa llena, necesitamos tres tipos de dados, seguidos de un par de dados diferentes. Dividiremos este problema en dos partes:

• ¿Cuál es el número de diferentes tipos de casas completas que podrían ser rodadas?
• ¿Cuál es la cantidad de formas en que un tipo particular de casa completa se puede rodar?

Una vez que sepamos el número de cada uno de estos, podemos multiplicarlos para obtener el número total de casas completas que se pueden rodar.

Comenzamos observando la cantidad de diferentes tipos de casas completas que se pueden rodar. Cualquiera de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6 podría usarse para el trío. Hay cinco números restantes para el par. Por lo tanto, hay 6 x 5 = 30 tipos diferentes de combinaciones de casa completa que se pueden lanzar.

Por ejemplo, podríamos tener 5, 5, 5, 2, 2 como un tipo de casa completa. Otro tipo de casa completa sería 4, 4, 4, 1, 1. Otro todavía sería 1, 1, 4, 4, 4, que es diferente al de la casa completa anterior porque los roles de los cuatro y los otros han cambiado.

Ahora determinamos el número diferente de formas de rodar una casa completa en particular. Por ejemplo, cada uno de los siguientes nos da la misma casa llena de tres cuatro y dos unidades:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vemos que hay al menos cinco formas de rodar una casa completa en particular. ¿Hay otros? Incluso si seguimos enumerando otras posibilidades, ¿cómo sabemos que las hemos encontrado todas?

La clave para responder estas preguntas es darse cuenta de que estamos lidiando con un problema de conteo y determinar con qué tipo de problema de conteo estamos trabajando. Hay cinco posiciones, y tres de estas deben llenarse con un cuatro. El orden en que colocamos nuestros cuatro patas no importa mientras se llenen las posiciones exactas. Una vez que se ha determinado la posición de los cuatro, la colocación de los cuatro es automática. Por estas razones, debemos considerar el combinación de cinco posiciones tomadas de tres en tres.

Utilizamos la fórmula combinada para obtener C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Esto significa que hay 10 formas diferentes de rodar una casa completa determinada.

Al unir todo esto, tenemos nuestro número de casas completas. Hay 10 x 30 = 300 formas de obtener una casa llena en un rollo.

Ahora el probabilidad de una casa llena Es un simple cálculo de división. Dado que hay 300 formas de tirar una casa llena en una sola tirada y hay 7776 tiradas de cinco dados posibles, la probabilidad de tirar una casa llena es 300/7776, que está cerca de 1/26 y 3.85%. Esto es 50 veces más probable que lanzar un Yahtzee en una sola tirada.

Por supuesto, es muy probable que el primer lanzamiento no sea una casa llena. Si este es el caso, entonces se nos permiten dos rollos más, lo que hace que una casa llena sea mucho más probable. La probabilidad de esto es mucho más complicada de determinar debido a todas las posibles situaciones que deberían considerarse.