A lo largo de las matemáticas y las estadísticas, necesitamos saber contar. Esto es particularmente cierto para algunos probabilidad problemas. Supongamos que se nos da un total de norte objetos distintos y desea seleccionar r de ellos. Esto toca directamente un área de las matemáticas conocida como combinatoria, que es el estudio de contar. Dos de las principales formas de contar estos r objetos de norte Los elementos se denominan permutaciones y combinaciones. Estos conceptos están estrechamente relacionados entre sí y se confunden fácilmente.
¿Cuál es la diferencia entre una combinación y permutación? La idea clave es la del orden. Una permutación presta atención al orden en que seleccionamos nuestros objetos. El mismo conjunto de objetos, pero tomado en un orden diferente nos dará diferentes permutaciones. Con una combinación, todavía seleccionamos r objetos de un total de norte, pero el pedido ya no se considera.
Un ejemplo de permutaciones
Para distinguir entre estas ideas, consideraremos el siguiente ejemplo: cuántas permutaciones hay de dos letras del conjunto {a B C}?
Aquí enumeramos todos los pares de elementos del conjunto dado, prestando atención al orden. Hay un total de seis permutaciones. La lista de todos estos son: ab, ba, bc, cb, ac y ca. Tenga en cuenta que como permutaciones ab y licenciado en Letras son diferentes porque en un caso una fue elegido primero, y en el otro una fue elegido segundo.
Un ejemplo de combinaciones
Ahora responderemos la siguiente pregunta: ¿cuántas combinaciones hay de dos letras del conjunto {a B C}?
Como estamos lidiando con combinaciones, ya no nos importa el orden. Podemos resolver este problema mirando hacia atrás en las permutaciones y luego eliminando aquellas que incluyen las mismas letras. Como combinaciones, ab y licenciado en Letras son considerados como lo mismo. Por lo tanto, solo hay tres combinaciones: ab, ac y bc.
Fórmulas
Para situaciones en las que nos encontramos con conjuntos más grandes, es demasiado lento enumerar todas las permutaciones o combinaciones posibles y contar el resultado final. Afortunadamente, hay fórmulas que nos dan la cantidad de permutaciones o combinaciones de norte objetos tomados r a la vez
En estas fórmulas, usamos la notación abreviada de norte! llamado nortefactorial. El factorial simplemente dice que multiplique todos los números enteros positivos menores o iguales que norte juntos. Entonces, por ejemplo, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Por definición 0! = 1.
El número de permutaciones de norte objetos tomados r a la vez viene dada por la fórmula:
PAG(norte,r) = norte!/(norte - r)!
El número de combinaciones de norte objetos tomados r a la vez viene dada por la fórmula:
C(norte,r) = norte!/[r!(norte - r)!]
Fórmulas en el trabajo
Para ver las fórmulas en funcionamiento, veamos el ejemplo inicial. El número de permutaciones de un conjunto de tres objetos tomados de dos en dos viene dado por PAG(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Esto coincide exactamente con lo que obtuvimos al enumerar todas las permutaciones.
El número de combinaciones de un conjunto de tres objetos tomados de dos en dos viene dado por:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Nuevamente, esto se alinea exactamente con lo que vimos antes.
Las fórmulas definitivamente ahorran tiempo cuando se nos pide que encontremos el número de permutaciones de un conjunto más grande. Por ejemplo, ¿cuántas permutaciones hay de un conjunto de diez objetos tomados de tres en tres? Tomaría un tiempo enumerar todas las permutaciones, pero con las fórmulas, vemos que habría:
PAG(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutaciones.
La idea principal
¿Cuál es la diferencia entre permutaciones y combinaciones? La conclusión es que en situaciones de conteo que involucran un orden, se deben usar permutaciones. Si el orden no es importante, entonces se deben utilizar combinaciones.