Cómo usar 'If and Only If' en Matemáticas

Al leer sobre estadísticas y matemáticas, una frase que aparece regularmente es "si y solo si". Esta frase aparece particularmente dentro de enunciados de teoremas matemáticos o pruebas. Pero, ¿qué significa, precisamente, esta afirmación?

Para entender "si y solo si", primero debemos saber qué se entiende por una declaración condicional. Una declaración condicional es aquella que se forma a partir de otras dos declaraciones, que denotaremos por P y Q. Para formar una declaración condicional, podríamos decir "si P entonces Q".

Los siguientes son ejemplos de este tipo de declaración:

• Si está lloviendo afuera, entonces llevo mi paraguas conmigo en mi caminata.
• Si estudias mucho, obtendrás una A.
• Si norte es divisible por 4, entonces norte es divisible por 2.

Otras tres declaraciones están relacionadas con cualquier declaración condicional. Estos se llaman los conversar, inverso y el contrapositivo. Formamos estas declaraciones cambiando el orden de P y Q del condicional original e insertando la palabra "no" para el inverso y el contrapositivo.

Solo tenemos que considerar lo contrario aquí. Esta declaración se obtiene del original diciendo "si Q entonces P." Supongamos que comenzamos con el condicional "si está lloviendo afuera, entonces yo lleva mi paraguas conmigo en mi caminata ". Lo contrario de esta declaración es "si llevo mi paraguas conmigo en mi caminata, entonces está lloviendo fuera de."

Solo necesitamos considerar este ejemplo para darnos cuenta de que el condicional original no es lógicamente el mismo que su inverso. La confusión de estos dos formularios de declaración se conoce como error inverso. Uno podría llevar un paraguas a caminar aunque no esté lloviendo afuera.

Para otro ejemplo, consideramos el condicional "Si un número es divisible por 4, entonces es divisible por 2". Esta afirmación es claramente cierta. Sin embargo, esta afirmación es inversa: "Si un número es divisible por 2, entonces es divisible por 4" es falso. Solo necesitamos mirar un número como 6. Aunque 2 divide este número, 4 no. Si bien la afirmación original es verdadera, su inverso no lo es.

Esto nos lleva a una declaración bicondicional, que también se conoce como una declaración "si y solo si". Ciertas declaraciones condicionales también tienen conversaciones que son verdaderas. En este caso, podemos formar lo que se conoce como una declaración bicondicional. Una declaración bicondicional tiene la forma:

"Si P entonces Q, y si Q entonces P."

Desde esto construcción es algo incómodo, especialmente cuando P y Q son sus propias declaraciones lógicas, simplificamos la declaración de un bicondicional usando la frase "si y solo si." En lugar de decir "si P entonces Q, y si Q entonces P" en su lugar decimos "P si y solo si Q". Esta construcción elimina algunos redundancia.

Para ver un ejemplo de la frase “si y solo si” que involucra estadísticas, no busque más que un hecho relacionado con la desviación estándar de la muestra. La desviación estándar de muestra de un conjunto de datos es igual a cero si y solo si todos los valores de datos son idénticos.

Rompemos esta declaración bicondicional en condicional y su inverso. Entonces vemos que esta declaración significa lo siguiente:

• Si la desviación estándar es cero, entonces todos los valores de datos son idénticos.
• Si todos los valores de datos son idénticos, la desviación estándar es igual a cero.

Si intentamos probar un bicondicional, la mayoría de las veces terminamos dividiéndolo. Esto hace que nuestra prueba tenga dos partes. Una parte que demostramos es "si P entonces Q". La otra parte de la prueba que necesitamos es "si Q entonces P."

Las declaraciones bicondicionales están relacionadas con condiciones que son necesarias y suficientes. Considere la afirmación "si hoy es Pascua de Resurrección, entonces mañana es lunes ". Hoy ser Pascua es suficiente para que mañana sea lunes, sin embargo, no es necesario. Hoy podría ser cualquier domingo que no sea Pascua, y mañana todavía sería lunes.

La frase "si y solo si" se usa con suficiente frecuencia en la escritura matemática que tiene su propia abreviatura. A veces, el bicondicional en la declaración de la frase "si y solo si" se acorta a simplemente "iff". Así, la afirmación "P si y solo si Q" se convierte en "P iff Q".