Una introducción a la curva de campana

Una distribución normal se conoce más comúnmente como curva de campana. Este tipo de curva aparece a lo largo Estadísticas y el mundo real

Por ejemplo, después de dar un examen en cualquiera de mis clases, una cosa que me gusta hacer es hacer una gráfica de todos los puntajes. Normalmente escribo rangos de 10 puntos como 60-69, 70-79 y 80-89, luego pongo una marca de puntaje para cada puntaje de prueba en ese rango. Casi cada vez que hago esto, surge una forma familiar. Unos pocos estudiantes les va muy bien y algunos lo hacen muy mal. Un montón de puntajes terminan agrupados alrededor del puntaje promedio. Las diferentes pruebas pueden dar como resultado diferentes medias y desviaciones estándar, pero la forma del gráfico es casi siempre la misma. Esta forma se llama comúnmente curva de campana.

¿Por qué llamarlo una curva de campana? La curva de campana recibe su nombre simplemente porque su forma se asemeja a la de una campana. Estas curvas aparecen a lo largo del estudio de las estadísticas, y su importancia no puede exagerarse.

Para ser técnicos, los tipos de curvas de campana que más nos interesan en estadística se denominan normales distribuciones de probabilidad. Para lo que sigue, asumiremos que las curvas de campana de las que estamos hablando son distribuciones de probabilidad normales. A pesar del nombre "curva de campana", estas curvas no están definidas por su forma. En cambio, una mirada intimidante fórmula se usa como la definición formal para las curvas de campana.

Pero realmente no necesitamos preocuparnos demasiado por la fórmula. Los únicos dos números que nos interesan son la media y la desviación estándar. La curva de campana para un conjunto de datos dado tiene el centro ubicado en la media. Aquí es donde se encuentra el punto más alto de la curva o "parte superior de la campana". La desviación estándar de un conjunto de datos determina qué tan extendida está nuestra curva de campana. Cuanto mayor es la desviación estándar, más se extiende la curva.

Hay varias características de las curvas de campana que son importantes y las distingue de otras curvas en las estadísticas:

• Una curva de campana tiene un modo, que coincide con la media y la mediana. Este es el centro de la curva donde está en su punto más alto.
• Una curva de campana es simétrica. Si se doblara a lo largo de una línea vertical en la media, ambas mitades coincidirían perfectamente porque son imágenes especulares entre sí.
• Una curva de campana sigue la regla 68-95-99.7, que proporciona una forma conveniente de realizar cálculos estimados:
  • Aproximadamente el 68% de todos los datos se encuentran dentro de una desviación estándar de la media.
  • Aproximadamente el 95% de todos los datos están dentro de dos desviaciones estándar de la media.
  • Aproximadamente el 99.7% de los datos están dentro de tres desviaciones estándar de la media.

Si sabemos que una curva de campana modela nuestros datos, podemos usar las características anteriores de la curva de campana para decir un poco. Volviendo al ejemplo de la prueba, supongamos que tenemos 100 estudiantes que tomaron una prueba estadística con una puntuación media de 70 y una desviación estándar de 10.

La desviación estándar es 10. Resta y suma 10 a la media. Esto nos da 60 y 80. Según la regla 68-95-99.7, esperaríamos que aproximadamente el 68% de 100, o 68 estudiantes obtengan entre 60 y 80 en la prueba.

Dos veces la desviación estándar es 20. Si restamos y sumamos 20 a la media, tenemos 50 y 90. Esperaríamos que alrededor del 95% de 100, o 95 estudiantes obtengan entre 50 y 90 en la prueba.

Un cálculo similar nos dice que efectivamente todos obtuvieron entre 40 y 100 en la prueba.

Hay muchas aplicaciones para las curvas de campana. Son importantes en estadística porque modelan una amplia variedad de datos del mundo real. Como se mencionó anteriormente, los resultados de las pruebas son un lugar donde aparecen. Aquí hay algunos otros:

• Mediciones repetidas de un equipo
• Mediciones de características en biología.
• Aproximación de eventos fortuitos, como lanzar una moneda varias veces
• Alturas de estudiantes en un nivel de grado particular en un distrito escolar

Aunque existen innumerables aplicaciones de curvas de campana, no es apropiado usarlas en todas las situaciones. Algunos conjuntos de datos estadísticos, como la falla del equipo o las distribuciones de ingresos, tienen formas diferentes y no son simétricos. Otras veces puede haber dos o más modos, como cuando a varios estudiantes les va muy bien y a otros les va muy mal en un examen. Estas aplicaciones requieren el uso de otras curvas que se definen de manera diferente a la curva de campana. El conocimiento sobre cómo se obtuvo el conjunto de datos en cuestión puede ayudar a determinar si una curva de campana se debe utilizar para representar los datos o no.