¿Cuál es el valor esperado en probabilidad?

Estás en un carnaval y ves un juego. Por $ 2 tiras un dado estándar de seis lados. Si el número que se muestra es un seis, gana $ 10; de lo contrario, no gana nada. Si estás tratando de ganar dinero, ¿te interesa jugar el juego? Para responder una pregunta como esta, necesitamos el concepto de valor esperado.

El valor esperado realmente puede considerarse como la media de una variable aleatoria. Esto significa que si realizó un experimento de probabilidad una y otra vez, realizando un seguimiento de los resultados, el valor esperado es el promedio de todos los valores obtenidos. El valor esperado es lo que debe anticipar que sucederá en el largo plazo de muchas pruebas de un juego de azar.

El juego de carnaval mencionado anteriormente es un ejemplo de una variable aleatoria discreta. La variable no es continua y cada resultado nos llega en un número que se puede separar de los demás. Para encontrar el valor esperado de un juego que tiene resultados X₁, X₂,..., X_norte con probabilidades pag₁, pag₂,... , pag_norte, calcular:

X₁pag₁ + X₂pag₂ +... + X_nortepag_norte.

Para el juego anterior, tienes una probabilidad de 5/6 de no ganar nada. El valor de este resultado es -2 ya que gastaste $ 2 para jugar el juego. Un seis tiene una probabilidad de 1/6 de aparecer, y este valor tiene un resultado de 8. ¿Por qué 8 y no 10? Nuevamente, tenemos que dar cuenta de los $ 2 que pagamos para jugar, y 10 - 2 = 8.

Ahora conecte estos valores y probabilidades en el esperado fórmula de valor y termina con: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Esto significa que a la larga, deberías esperar perder en promedio aproximadamente 33 centavos cada vez que juegues este juego. Sí, a veces ganarás. Pero perderás más a menudo.

Ahora supongamos que el juego de carnaval se ha modificado ligeramente. Por la misma tarifa de entrada de $ 2, si el número que se muestra es un seis, entonces gana $ 12, de lo contrario, no gana nada. El valor esperado de este juego es -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. A la larga, no perderá dinero, pero no ganará ninguno. No esperes ver un juego con estos números en tu carnaval local. Si a la larga, no perderás dinero, entonces el carnaval no hará nada.

Ahora ve al casino. De la misma manera que antes, podemos calcular el valor esperado de los juegos de azar como la ruleta. En los Estados Unidos, una rueda de ruleta tiene 38 ranuras numeradas del 1 al 36, 0 y 00. La mitad de los 1-36 son rojos, la mitad son negros. Tanto 0 como 00 son verdes. Una pelota cae aleatoriamente en una de las ranuras, y las apuestas se hacen en donde aterrizará la pelota.

Una de las apuestas más simples es apostar en rojo. Aquí, si apuesta $ 1 y la bola cae en un número rojo en la rueda, ganará $ 2. Si la pelota cae en un espacio negro o verde en la rueda, entonces no ganas nada. ¿Cuál es el valor esperado en una apuesta como esta? Como hay 18 espacios rojos, hay una probabilidad de ganar de 18/38, con una ganancia neta de $ 1. Hay una probabilidad de 20/38 de perder su apuesta inicial de $ 1. El valor esperado de esta apuesta en ruleta es 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, que es aproximadamente 5,3 centavos. Aquí la casa tiene una ligera ventaja (como con todos los juegos de casino).

Como otro ejemplo, considere un lotería. Aunque se pueden ganar millones por el precio de un boleto de $ 1, el valor esperado de un juego de lotería muestra cuán injustamente está construido. Suponga que por $ 1 elige seis números del 1 al 48. La probabilidad de elegir los seis números correctamente es 1 / 12,271,512. Si gana $ 1 millón por obtener los seis correctos, ¿cuál es el valor esperado de esta lotería? Los valores posibles son: $ 1 por perder y $ 999,999 por ganar (nuevamente tenemos que tener en cuenta el costo de jugar y restar esto de las ganancias). Esto nos da un valor esperado de:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Entonces, si fuera a jugar a la lotería una y otra vez, a la larga, perdería alrededor de 92 centavos, casi todo el precio de su boleto, cada vez que juegue.

Todos los ejemplos anteriores miran un discreto variable aleatoria. Sin embargo, también es posible definir el valor esperado para una variable aleatoria continua. Todo lo que debemos hacer en este caso es reemplazar la suma en nuestra fórmula con una integral.

Es importante recordar que el valor esperado es el promedio después de muchas pruebas de un proceso aleatorio. A corto plazo, el promedio de una variable aleatoria puede variar significativamente del valor esperado.