Una pregunta natural sobre una distribución de probabilidad es: "¿Cuál es su centro?" El valor esperado es una de esas medidas del centro de una distribución de probabilidad. Como mide la media, no debería sorprendernos que esta fórmula se derive de la de la media.
Para establecer un punto de partida, debemos responder la pregunta "¿Cuál es el valor esperado?" Supongamos que tenemos una variable aleatoria asociada con un experimento de probabilidad. Digamos que repetimos este experimento una y otra vez. A la larga de varias repeticiones del mismo experimento de probabilidad, si promediamos todos nuestros valores de variable aleatoria, obtendríamos el valor esperado.
En lo que sigue veremos cómo usar la fórmula para el valor esperado. Analizaremos las configuraciones discretas y continuas y veremos las similitudes y diferencias en las fórmulas.
La fórmula para una variable aleatoria discreta
Comenzamos analizando el caso discreto. Dada una variable aleatoria discreta X, supongamos que tiene valores
X1, X2, X3,... Xnortey las probabilidades respectivas de pag1, pag2, pag3,... pagnorte. Esto está diciendo que la función de masa de probabilidad para esta variable aleatoria da F(Xyo) = pagyo.El valor esperado de X está dado por la fórmula:
MI(X) = X1pag1 + X2pag2 + X3pag3 +... + Xnortepagnorte.
El uso de la función de masa de probabilidad y la notación de suma nos permite escribir de manera más compacta esta fórmula de la siguiente manera, donde la suma se toma sobre el índice yo:
MI(X) = Σ XyoF(Xyo).
Es útil ver esta versión de la fórmula porque también funciona cuando tenemos un espacio de muestra infinito. Esta fórmula también se puede ajustar fácilmente para el caso continuo.
Un ejemplo
Lanza una moneda tres veces y deja X Ser el número de cabezas. La variable aleatoria X Es discreto y finito. Los únicos valores posibles que podemos tener son 0, 1, 2 y 3. Esto tiene una distribución de probabilidad de 1/8 para X = 0, 3/8 para X = 1, 3/8 para X = 2, 1/8 para X = 3. Use la fórmula del valor esperado para obtener:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
En este ejemplo, vemos que, a la larga, promediaremos un total de 1.5 cabezas de este experimento. Esto tiene sentido con nuestra intuición, ya que la mitad de 3 es 1.5.
La fórmula para una variable aleatoria continua
Ahora pasamos a una variable aleatoria continua, que denotaremos por X. Dejaremos que la función de densidad de probabilidad de X ser dado por la función F(X).
El valor esperado de X está dado por la fórmula:
MI(X) = ∫ x f(X) dX.
Aquí vemos que el valor esperado de nuestra variable aleatoria se expresa como una integral.
Aplicaciones de valor esperado
Hay muchos aplicaciones para el valor esperado de una variable aleatoria. Esta fórmula hace una aparición interesante en el Paradoja de San Petersburgo.