Matemáticas vectoriales: una introducción básica pero integral

Esta es una introducción básica, aunque con suerte bastante completa, para trabajar con vectores. Los vectores se manifiestan en una amplia variedad de formas, desde desplazamiento, velocidad y aceleración hasta fuerzas y campos. Este artículo está dedicado a las matemáticas de los vectores; su aplicación en situaciones específicas se abordará en otro lugar.

UN cantidad vectorialo vector, proporciona información no solo sobre la magnitud sino también sobre la dirección de la cantidad. Al dar instrucciones a una casa, no es suficiente decir que está a 10 millas de distancia, pero también se debe proporcionar la dirección de esas 10 millas para que la información sea útil. Las variables que son vectores se indicarán con una variable en negrita, aunque es común ver vectores denotados con pequeñas flechas sobre la variable.

Del mismo modo que no decimos que la otra casa está a -10 millas de distancia, la magnitud de un vector siempre es un número positivo, o más bien el valor absoluto de la "longitud" del vector (aunque el la cantidad puede no ser una longitud, puede ser una velocidad, aceleración, fuerza, etc.) Un negativo delante de un vector no indica un cambio en la magnitud, sino más bien en la dirección de la vector.

En los ejemplos anteriores, la distancia es la cantidad escalar (10 millas) pero desplazamiento es la cantidad vectorial (10 millas al noreste). Del mismo modo, la velocidad es una cantidad escalar mientras que la velocidad es un vector cantidad.

UN vector unitario es un vector que tiene una magnitud de uno. Un vector que representa un vector unitario generalmente también está en negrita, aunque tendrá un quilate (^) arriba para indicar la naturaleza unitaria de la variable. El vector unitario X, cuando se escribe con un quilate, generalmente se lee como "x-hat" porque el quilate se parece a un sombrero en la variable.

los vector ceroo vector nulo, es un vector con una magnitud de cero. Está escrito como 0 en este articulo.

Los vectores generalmente están orientados en un sistema de coordenadas, el más popular de los cuales es el plano cartesiano bidimensional. El plano cartesiano tiene un eje horizontal etiquetado como xy un eje vertical etiquetado como y. Algunas aplicaciones avanzadas de vectores en física requieren el uso de un espacio tridimensional, en el que los ejes son x, y y z. Este artículo tratará principalmente con el sistema bidimensional, aunque los conceptos se pueden ampliar con cierto cuidado a tres dimensiones sin demasiados problemas.

Los vectores en sistemas de coordenadas de múltiples dimensiones se pueden dividir en sus vectores componentes. En el caso bidimensional, esto resulta en un componente x y un componente y. Al dividir un vector en sus componentes, el vector es una suma de los componentes:

F = F_X + F_y

thetaF_XF_yF

F_X / F = cos theta y F_y / F = pecado thetalo que nos da
F_X = F cos theta y F_y = F pecado theta

Tenga en cuenta que los números aquí son las magnitudes de los vectores. Conocemos la dirección de los componentes, pero estamos tratando de encontrar su magnitud, por lo que eliminamos la información direccional y realizamos estos cálculos escalares para calcular la magnitud. La aplicación adicional de la trigonometría se puede utilizar para encontrar otras relaciones (como la tangente) relacionadas entre algunas de estas cantidades, pero creo que es suficiente por ahora.

Durante muchos años, las únicas matemáticas que aprende un estudiante son las matemáticas escalares. Si viaja 5 millas al norte y 5 millas al este, ha viajado 10 millas. Agregar cantidades escalares ignora toda la información sobre las direcciones.

Los vectores se manipulan de manera algo diferente. La dirección siempre debe tenerse en cuenta al manipularlos.

Cuando agrega dos vectores, es como si tomara los vectores y los colocara de extremo a extremo y creara un nuevo vector que se ejecute desde el punto inicial hasta el punto final. Si los vectores tienen la misma dirección, entonces esto solo significa sumar las magnitudes, pero si tienen direcciones diferentes, puede volverse más complejo.

Agregue vectores dividiéndolos en sus componentes y luego agregando los componentes, como se muestra a continuación:

un + si = C
un_X + un_y + si_X + si_y =
( un_X + si_X) + ( un_y + si_y) = C_X + C_y

Los dos componentes x darán como resultado el componente x de la nueva variable, mientras que los dos componentes y darán como resultado el componente y de la nueva variable.

El orden en el que agrega los vectores no importa. De hecho, varias propiedades de la adición escalar se mantienen para la adición de vectores:

Propiedad de identidad de la suma vectorial
un + 0 = un
Propiedad inversa de la suma vectorial
un + -un = un - un = 0
Propiedad reflexiva de la suma vectorial
un = un
Propiedad conmutativa de adición de vectores
un + si = si + un
Propiedad asociativa de la suma vectorial
(un + si) + C = un + (si + C)
Propiedad transitiva de la suma vectorial
Si un = si y C = si, luego un = C

La operación más simple que se puede realizar en un vector es multiplicarlo por un escalar. Esta multiplicación escalar altera la magnitud del vector. En otras palabras, hace que el vector sea más largo o más corto.

Al multiplicar por un escalar negativo, el vector resultante apuntará en la dirección opuesta.

los producto escalar de dos vectores es una forma de multiplicarlos para obtener una cantidad escalar. Esto se escribe como una multiplicación de los dos vectores, con un punto en el medio que representa la multiplicación. Como tal, a menudo se le llama producto de punto de dos vectores

Para calcular el producto escalar de dos vectores, considere el ángulo entre ellos. En otras palabras, si compartieran el mismo punto de partida, ¿cuál sería la medida del ángulo?theta) entre ellos. El producto punto se define como:

un * si = ab cos theta

ababba

En los casos en que los vectores son perpendiculares (o theta = 90 grados), cos theta será cero Por lo tanto, el producto escalar de los vectores perpendiculares es siempre cero. Cuando los vectores son paralelo (o theta = 0 grados), cos theta es 1, entonces el producto escalar es solo el producto de las magnitudes.

Estos pequeños hechos claros se pueden usar para demostrar que, si conoce los componentes, puede eliminar la necesidad de theta por completo con la ecuación (bidimensional):

un * si = un_X si_X + un_y si_y

los producto vectorial está escrito en la forma un X siy generalmente se llama producto cruzado de dos vectores En este caso, estamos multiplicando los vectores y en lugar de obtener una cantidad escalar, obtendremos una cantidad vectorial. Este es el más complicado de los cálculos vectoriales con los que trataremos, ya que es no conmutativo e implica el uso de lo temido regla de la mano derecha, a lo que llegaré en breve.

Nuevamente, consideramos dos vectores dibujados desde el mismo punto, con el ángulo theta entre ellos. Siempre tomamos el ángulo más pequeño, así que theta siempre estará en un rango de 0 a 180 y el resultado, por lo tanto, nunca será negativo. La magnitud del vector resultante se determina de la siguiente manera:

Si C = un X si, luego C = ab pecado theta

El producto vectorial de los vectores paralelos (o antiparalelos) es siempre cero

El producto vectorial será perpendicular al plano creado a partir de esos dos vectores. Si imagina que el avión está plano sobre una mesa, la pregunta es si el vector resultante se va arriba (nuestro "fuera de la mesa, desde nuestra perspectiva) o abajo (o" dentro "de la mesa, desde nuestro perspectiva).

Para resolver esto, debe aplicar lo que se llama regla de la mano derecha. Cuando estudié física en la escuela, yo detestado La regla de la mano derecha. Cada vez que lo usaba, tenía que sacar el libro para ver cómo funcionaba. Espero que mi descripción sea un poco más intuitiva que la que me presentaron.

Si usted tiene un X si colocarás tu mano derecha a lo largo de si para que tus dedos (excepto el pulgar) puedan curvarse para apuntar un. En otras palabras, estás tratando de hacer el ángulo theta entre la palma y cuatro dedos de tu mano derecha. El pulgar, en este caso, se mantendrá hacia arriba (o fuera de la pantalla, si intentas hacerlo en la computadora). Tus nudillos estarán alineados aproximadamente con el punto de partida de los dos vectores. La precisión no es esencial, pero quiero que tengas la idea ya que no tengo una imagen de esto para proporcionar.

Sin embargo, si estás considerando si X un, harás lo contrario. Pondrás tu mano derecha un y apunta tus dedos si. Si intenta hacer esto en la pantalla de la computadora, le resultará imposible, así que use su imaginación. Encontrará que, en este caso, su pulgar imaginativo apunta hacia la pantalla de la computadora. Esa es la dirección del vector resultante.

La regla de la derecha muestra la siguiente relación:

un X si = - si X un

cabc

C_X = un_y si_z - un_z si_y
C_y = un_z si_X - un_X si_z
C_z = un_X si_y - un_y si_X

abC_XC_yC

En niveles más altos, los vectores pueden volverse extremadamente complejos para trabajar. Cursos completos en la universidad, como álgebra lineal, dedican una gran cantidad de tiempo a las matrices (que evité amablemente en esta introducción), vectores y espacios vectoriales. Ese nivel de detalle está más allá del alcance de este artículo, pero esto debería proporcionar los fundamentos necesarios para la mayor parte de la manipulación de vectores que se realiza en el aula de física. Si tiene la intención de estudiar física en mayor profundidad, se le presentarán los conceptos vectoriales más complejos a medida que avance en su educación.