Propiedades Matemáticas de las Olas

Ondas físicas, o ondas mecanicas, se forman a través de la vibración de un medio, ya sea una cuerda, la corteza terrestre o partículas de gases y fluidos. Las ondas tienen propiedades matemáticas que se pueden analizar para comprender el movimiento de la onda. Este artículo presenta estas propiedades generales de la onda, en lugar de cómo aplicarlas en situaciones específicas de la física.

Hay dos tipos de ondas mecánicas.

A es tal que los desplazamientos del medio son perpendiculares (transversales) a la dirección de desplazamiento de la onda a lo largo del medio. Vibrar una cuerda en movimiento periódico, para que las olas se muevan a lo largo de ella, es una onda transversal, como lo son las olas en el océano.

UN onda longitudinal es tal que los desplazamientos del medio van y vienen a lo largo de la misma dirección que la onda misma. Las ondas sonoras, donde las partículas de aire son empujadas a lo largo de la dirección de desplazamiento, son un ejemplo de onda longitudinal.

Aunque las ondas discutidas en este artículo se referirán al viaje en un medio, las matemáticas introducidas aquí pueden usarse para analizar las propiedades de las ondas no mecánicas. La radiación electromagnética, por ejemplo, puede viajar a través del espacio vacío, pero aún así, tiene las mismas propiedades matemáticas que otras ondas. Por ejemplo, el Efecto Doppler para ondas sonoras es bien conocido, pero existe un similar Efecto Doppler para ondas de luz, y se basan en los mismos principios matemáticos.

1. Las ondas pueden verse como una perturbación en el medio alrededor de un estado de equilibrio, que generalmente está en reposo. La energía de esta perturbación es la que causa el movimiento de la onda. Un charco de agua está en equilibrio cuando no hay olas, pero tan pronto como se arroja una piedra, se altera el equilibrio de las partículas y comienza el movimiento de las olas.
2. La perturbación de la ola viaja, o propagados, con una velocidad definida, llamada velocidad de onda (v).
3. Las olas transportan energía, pero no importan. El medio en sí no viaja; las partículas individuales experimentan un movimiento hacia adelante y hacia atrás o hacia arriba y hacia abajo alrededor de la posición de equilibrio.

Para describir matemáticamente el movimiento ondulatorio, nos referimos al concepto de un función de onda, que describe la posición de una partícula en el medio en cualquier momento. La función de onda más básica es la onda sinusoidal, o onda sinusoidal, que es una onda periódica (es decir, una onda con movimiento repetitivo).

Es importante tener en cuenta que la función de onda no representa la onda física, sino que es un gráfico del desplazamiento sobre la posición de equilibrio. Este puede ser un concepto confuso, pero lo útil es que podemos usar una onda sinusoidal para representar la mayoría de las publicaciones periódicas. movimientos, como moverse en un círculo o balancear un péndulo, que no necesariamente se ven como ondas cuando se ve el real movimiento.

• velocidad de onda (v) - la velocidad de propagación de la onda
• amplitud (UN) - la magnitud máxima del desplazamiento desde el equilibrio, en unidades SI de metros. En general, es la distancia desde el punto medio de equilibrio de la onda hasta su desplazamiento máximo, o es la mitad del desplazamiento total de la onda.
• período (T) - es el tiempo para un ciclo de onda (dos pulsos, o de cresta a cresta o valle a canal), en unidades SI de segundos (aunque puede denominarse "segundos por ciclo").
• frecuencia (F) - el número de ciclos en una unidad de tiempo. La unidad de frecuencia del SI es el hertz (Hz) y

  1 Hz = 1 ciclo / s = 1 s^-1

• frecuencia angular (ω) - es 2π veces la frecuencia, en unidades SI de radianes por segundo.
• longitud de onda (λ) - la distancia entre dos puntos en las posiciones correspondientes en repeticiones sucesivas en la ola, por lo que (por ejemplo) de una cresta o valle a la siguiente, en Unidades SI de metros.
• número de onda (k) - también llamado constante de propagación, esta cantidad útil se define como 2 π dividido por la longitud de onda, por lo que las unidades SI son radianes por metro.
• legumbres - una media longitud de onda, desde el equilibrio hacia atrás

Algunas ecuaciones útiles para definir las cantidades anteriores son:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / F = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

La posición vertical de un punto en la ola, y, se puede encontrar en función de la posición horizontal, Xy el tiempo t, cuando lo miramos. Agradecemos a los amables matemáticos por hacer este trabajo por nosotros, y obtenemos las siguientes ecuaciones útiles para describir el movimiento ondulatorio:

y(x, t) = UN pecado ω(t - X/v) = UN pecado 2π f(t - X/v)

y(x, t) = UN pecado 2π(t/T - X/v)

y (x, t) = UN pecado (ω t - kx)

Una característica final de la función de onda es que aplicar cálculo tomar la segunda derivada produce el ecuación de onda, que es un producto intrigante y a veces útil (que, una vez más, agradeceremos y aceptaremos a los matemáticos sin probarlo):

re²y / dx² = (1 / v²) re²y / dt²

La segunda derivada de y con respecto a X es equivalente a la segunda derivada de y con respecto a t dividido por la velocidad de la ola al cuadrado. La utilidad clave de esta ecuación es que cada vez que ocurre, sabemos que la función y actúa como una ola con velocidad de ola v y por lo tanto, la situación se puede describir usando la función de onda.