Probabilidades y dados de mentiroso

Muchos juegos de azar se pueden analizar utilizando las matemáticas de la probabilidad. En este artículo, examinaremos varios aspectos del juego llamado Liar’s Dice. Después de describir este juego, calcularemos las probabilidades relacionadas con él.

El juego de Liar’s Dice es en realidad una familia de juegos que implican faroleos y engaños. Hay una serie de variantes de este juego, y tiene varios nombres diferentes, como Pirate’s Dice, Deception y Dudo. Una versión de este juego apareció en la película Piratas del Caribe: El cofre del hombre muerto.

En la versión del juego que examinaremos, cada jugador tiene una taza y un juego del mismo número de dados. Los dados son dados estándar de seis lados numerados del uno al seis. Todos tiran sus dados, manteniéndolos cubiertos por la taza. En el momento apropiado, un jugador mira su juego de dados, manteniéndolos ocultos para todos los demás. El juego está diseñado para que cada jugador tenga un conocimiento perfecto de su propio conjunto de dados, pero no tiene conocimiento de los otros dados que se han lanzado.

Después de que todos hayan tenido la oportunidad de mirar sus dados que fueron lanzados, comienza la licitación. En cada turno, un jugador tiene dos opciones: hacer una oferta más alta o llamar mentira a la oferta anterior. Las ofertas pueden hacerse más altas al ofertar un valor de dados más alto de uno a seis, o al ofertar un número mayor del mismo valor de dados.

Por ejemplo, una oferta de "Tres dos" podría aumentarse indicando "Cuatro dos". También podría incrementarse diciendo "Tres tres". En general, ni el número de dados ni los valores de los dados pueden disminuir.

Como la mayoría de los dados están ocultos a la vista, es importante saber cómo calcular algunas probabilidades. Al saber esto, es más fácil ver qué ofertas son verdaderas y cuáles son mentiras.

La primera consideración es preguntar: "¿Cuántos dados del mismo tipo esperaríamos?" Por ejemplo, si lanzamos cinco dados, ¿cuántos de estos esperaríamos que sean dos? La respuesta a esta pregunta usa la idea de valor esperado.

El valor esperado de una variable aleatoria es la probabilidad de un valor particular, multiplicado por este valor.

La probabilidad de que el primer dado sea un dos es 1/6. Dado que los dados son independientes entre sí, la probabilidad de que alguno de ellos sea un dos es 1/6. Esto significa que el número esperado de dos tiradas es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Por supuesto, no hay nada especial en el resultado de dos. Tampoco hay nada especial sobre el número de dados que consideramos. Si rodamos norte dado, entonces el número esperado de cualquiera de los seis resultados posibles es norte/6. Es bueno saber este número porque nos da una línea de base para usar cuando cuestionamos las ofertas hechas por otros.

Por ejemplo, si estamos jugando a dados de mentiroso con seis dados, el valor esperado de cualquiera de los valores del 1 al 6 es 6/6 = 1. Esto significa que debemos ser escépticos si alguien ofrece más de uno de cualquier valor. A la larga, promediaríamos uno de cada uno de los valores posibles.

Supongamos que tiramos cinco dados y queremos encontrar la probabilidad de lanzar dos tres. La probabilidad de que un dado sea un tres es 1/6. La probabilidad de que un dado no sea tres es 5/6. Las tiradas de estos dados son eventos independientes, por lo que multiplicamos las probabilidades juntas usando el regla de multiplicación.

El producto siguiente da la probabilidad de que los dos primeros dados sean tres y los otros dados no lo sean:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Los dos primeros dados son tres es solo una posibilidad. Los dados que son tres podrían ser cualquiera de los cinco dados que tiramos. Denotamos un dado que no es un tres por un *. Las siguientes son formas posibles de tener dos tres de cada cinco rollos:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vemos que hay diez formas de tirar exactamente dos tres de cinco dados.

Ahora multiplicamos nuestra probabilidad anterior por las 10 formas en que podemos tener esta configuración de dados. El resultado es 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Esto es aproximadamente el 16%.

Ahora generalizamos el ejemplo anterior. Consideramos la probabilidad de rodar norte dados y obteniendo exactamente k que son de cierto valor.

Al igual que antes, la probabilidad de obtener el número que queremos es 1/6. La probabilidad de no obtener este número viene dada por regla del complemento como 5/6. Queremos k de nuestros dados para ser el número seleccionado. Esto significa que norte - k son un número diferente al que queremos. La probabilidad de la primera k los dados son un cierto número con los otros dados, no este número es:

(1/6)^k(5/6)^{norte - k}

Sería tedioso, por no mencionar el tiempo, enumerar todas las formas posibles de lanzar una configuración particular de dados. Por eso es mejor usar nuestros principios de conteo. A través de estas estrategias, vemos que estamos contando combinaciones.

Hay C (norte, k) formas de rodar k de un cierto tipo de dados de norte dado. Este número viene dado por la fórmula. norte!/(k!(norte - k)!)

Poniendo todo junto, vemos que cuando rodamos norte dados, la probabilidad de que exactamente k de ellos son un número particular dado por la fórmula:

[norte!/(k!(norte - k)!)] (1/6)^{k(5/6)norte - k}

Hay otra forma de considerar este tipo de problema. Esto implica el Distribución binomial con probabilidad de éxito dada por pag = 1/6. La fórmula para exactamente k de estos dados siendo cierto número se conoce como la función de masa de probabilidad para el binomio distribución.

Otra situación que deberíamos considerar es la probabilidad de obtener al menos un cierto número de un valor particular. Por ejemplo, cuando lanzamos cinco dados, ¿cuál es la probabilidad de lanzar al menos tres? Podríamos lanzar tres, cuatro o cinco unidades. Para determinar la probabilidad que queremos encontrar, sumamos tres probabilidades.

A continuación tenemos una tabla de probabilidades para obtener exactamente k de cierto valor cuando tiramos cinco dados.

A continuación, consideramos la siguiente tabla. Da la probabilidad de tirar al menos un cierto número de valor cuando tiramos un total de cinco dados. Vemos que, aunque es muy probable que arroje al menos un 2, no es tan probable que arroje al menos cuatro 2.