La probabilidad de rodar un Yahtzee

Yahtzee es un juego de dados que involucra una combinación de oportunidad y estrategia. Un jugador comienza su turno tirando cinco dados. Después de este lanzamiento, el jugador puede decidir volver a tirar cualquier número de dados. Como máximo, hay un total de tres tiradas por turno. Después de estas tres tiradas, el resultado del dado se ingresa en una hoja de puntaje. Esta hoja de puntaje contiene diferentes categorías, como un casa llena o recta grande. Cada una de las categorías se satisface con diferentes combinaciones de dados.

La categoría más difícil de completar es la de un Yahtzee. Un Yahtzee ocurre cuando un jugador tira cinco del mismo número. ¿Qué tan improbable es un Yahtzee? Este es un problema que es mucho más complicado que encontrar probabilidades para dos o incluso tres dados. La razón principal es que hay muchas maneras de obtener cinco dados iguales durante tres tiradas.

Podemos calcular la probabilidad de lanzar un Yahtzee usando la fórmula combinatoria para combinaciones y dividiendo el problema en varios mutuamente excluyentes casos.

El caso más fácil de considerar es obtener un Yahtzee inmediatamente en el primer lanzamiento. Primero veremos el probabilidad de rodar un Yahtzee particular de cinco dos, y luego extenderlo fácilmente a la probabilidad de cualquier Yahtzee.

La probabilidad de lanzar un dos es 1/6, y el resultado de cada dado es independiente del resto. Por lo tanto, la probabilidad de sacar cinco dos es (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. La probabilidad de sacar cinco de un tipo de cualquier otro número también es 1/7776. Como hay un total de seis números diferentes en un dado, multiplicamos la probabilidad anterior por 6.

Esto significa que la probabilidad de un Yahtzee en el primer lanzamiento es 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0.08 por ciento.

Si lanzamos algo que no sea cinco de una especie de la primera tirada, tendremos que volver a tirar algunos de nuestros dados para tratar de obtener un Yahtzee. Supongamos que nuestro primer lanzamiento tiene cuatro de un tipo. volveríamos a tirar el dado que no coincide y luego obtendríamos un Yahtzee en este segundo lanzamiento.

La probabilidad de obtener un total de cinco dos de esta manera se encuentra de la siguiente manera:

1. En el primer rollo, tenemos cuatro dos. Como hay una probabilidad de 1/6 de sacar un dos y 5/6 de no sacar un dos, multiplicamos (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Cualquiera de los cinco dados lanzados podrían ser los no dos. Usamos nuestra fórmula de combinación para C (5, 1) = 5 para contar cuántas maneras podemos sacar cuatro y dos y algo que no es un dos.
3. Multiplicamos y vemos que la probabilidad de obtener exactamente cuatro dos en el primer lanzamiento es 25/7776.
4. En el segundo lanzamiento, necesitamos calcular la probabilidad de tirar uno dos. Esto es 1/6. Por lo tanto, la probabilidad de lanzar un Yahtzee de dos en la forma anterior es (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Para encontrar la probabilidad de tirar cualquier Yahtzee de esta manera, se multiplica la probabilidad anterior por 6 porque hay seis números diferentes en un dado. Esto da una probabilidad de 6 x 25/46656 = 0.32 por ciento.

Pero esta no es la única forma de rodar un Yahtzee con dos rollos. Todas las siguientes probabilidades se encuentran de manera muy similar a la anterior:

• Podríamos lanzar tres de un tipo, y luego dos dados que coincidan en nuestro segundo lanzamiento. La probabilidad de esto es 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0.54 por ciento.
• Podríamos lanzar un par que coincida, y en nuestro segundo lanzamiento tres dados que coincidan. La probabilidad de esto es 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0.36 por ciento.
• Podríamos lanzar cinco dados diferentes, salvar un dado de nuestro primer lanzamiento, y luego lanzar cuatro dados que coincidan en el segundo lanzamiento. La probabilidad de esto es (6! / 7776) x (1/1296) = 0.01 por ciento.

Los casos anteriores son mutuamente excluyentes. Esto significa que para calcular la probabilidad de lanzar un Yahtzee en dos rollos, sumamos las probabilidades anteriores y tenemos aproximadamente 1.23 por ciento.

Para la situación más complicada hasta ahora, ahora examinaremos el caso en el que usamos nuestros tres rollos para obtener un Yahtzee. Podríamos hacer esto de varias maneras y debemos dar cuenta de todos ellos.

Las probabilidades de estas posibilidades se calculan a continuación:

• La probabilidad de tirar cuatro de un tipo, luego nada, y luego hacer coincidir el último dado en la última tirada es 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0.27 por ciento.
• La probabilidad de obtener tres de un tipo, luego nada, y luego emparejar con el par correcto en el último lanzamiento es 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0.37 por ciento.
• La probabilidad de obtener un par coincidente, luego nada, y luego coincidir con el trío correcto en el tercer lanzamiento es 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0.21 por ciento.
• La probabilidad de tirar un solo dado, luego nada que coincida con esto, y luego hacer coincidir con el cuatro de un tipo correcto en el tercer lanzamiento es (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0.003 por ciento.
• La probabilidad de lanzar un trío, igualando un dado adicional en la siguiente tirada, seguido de hacer coincidir el quinto dado en el tercer lanzamiento es 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0.89 por ciento.
• La probabilidad de obtener un par, igualar un par adicional en el próximo lanzamiento, seguido de igualar el quinto dado en el tercer lanzamiento es 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0.89 por ciento.
• La probabilidad de tirar un par, igualar un dado adicional en la siguiente tirada, seguido de igualar el Los últimos dos dados en el tercer lanzamiento son 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0.74 por ciento.
• La probabilidad de tirar uno de un tipo, otro dado para que coincida en el segundo lanzamiento, y luego un trío en el tercer lanzamiento es (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0.01 por ciento.
• La probabilidad de tirar uno de un tipo, un tres de un tipo para que coincida en el segundo lanzamiento, seguido de un partido en el tercer lanzamiento es (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0.02 por ciento.
• La probabilidad de obtener un par único, un par para que coincida en el segundo lanzamiento, y luego otro par para que coincida en el tercer lanzamiento es (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0.03 por ciento.

Sumamos todas las probabilidades anteriores para determinar la probabilidad de tirar un Yahtzee en tres tiradas de dados. Esta probabilidad es 3.43 por ciento.

La probabilidad de un Yahtzee en un rollo es 0.08 por ciento, la probabilidad de un Yahtzee en dos rollos es 1.23 por ciento y la probabilidad de un Yahtzee en tres rollos es 3.43 por ciento. Como cada uno de estos son mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades juntas. Esto significa que la probabilidad de obtener un Yahtzee en un turno dado es de aproximadamente 4.74 por ciento. Para poner esto en perspectiva, dado que 1/21 es aproximadamente 4.74 por ciento, solo por casualidad un jugador debe esperar un Yahtzee una vez cada 21 turnos. En la práctica, puede llevar más tiempo ya que un par inicial puede descartarse para rodar por otra cosa, como un Derecho.