La media y la varianza de una variable aleatoria. X con un distribución de probabilidad binomial Puede ser difícil de calcular directamente. Aunque puede quedar claro lo que hay que hacer al usar la definición de valor esperado de X y X2, la ejecución real de estos pasos es un malabarismo complicado de álgebra y sumaciones. Una forma alternativa de determinar la media y la varianza de un Distribución binomial es usar el función generadora de momentos para X.
Variable aleatoria binomial
Comience con la variable aleatoria X y describe el Distribución de probabilidad más específicamente. Realizar norte ensayos independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales tiene probabilidad de éxito pag y probabilidad de falla 1 - pag. Por lo tanto, la función de masa de probabilidad es
F (X) = C(norte, X)pagX(1 – pag)norte - X
Aquí el termino C(norte, X) denota el número de combinaciones de norte elementos tomados X a la vez, y X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,. .., norte.
Función generadora de momentos
Use esta función de probabilidad de masa para obtener la función generadora de momento X:
METRO(t) = ΣX = 0nortemitxC(norte,X)>)pagX(1 – pag)norte - X.
Queda claro que puede combinar los términos con exponente de X:
METRO(t) = ΣX = 0norte (Educación físicat)XC(norte,X)>)(1 – pag)norte - X.
Además, mediante el uso de la fórmula binomial, la expresión anterior es simplemente:
METRO(t) = [(1 – pag) + Educación físicat]norte.
Cálculo de la media
Para encontrar el media y varianza, necesitarás saber ambos METRO’(0) y METRO’’(0). Comience calculando sus derivados y luego evalúe cada uno de ellos en t = 0.
Verá que la primera derivada de la función generadora de momento es:
METRO’(t) = norte(Educación físicat)[(1 – pag) + Educación físicat]norte - 1.
A partir de esto, puede calcular la media de la distribución de probabilidad. METRO(0) = norte(Educación física0)[(1 – pag) + Educación física0]norte - 1 = notario público. Esto coincide con la expresión que obtuvimos directamente de la definición de la media.
Cálculo de la varianza
El cálculo de la varianza se realiza de manera similar. Primero, diferenciamos la función generadora de momento nuevamente, y luego evaluamos esta derivada en t = 0. Aquí verás que
METRO’’(t) = norte(norte - 1)(Educación físicat)2[(1 – pag) + Educación físicat]norte - 2 + norte(Educación físicat)[(1 – pag) + Educación físicat]norte - 1.
Para calcular la varianza de esta variable aleatoria necesitas encontrar METRO’’(t). Aquí tienes METRO’’(0) = norte(norte - 1)pag2 +notario público. La varianza σ2 de su distribución es
σ2 = METRO’’(0) – [METRO’(0)]2 = norte(norte - 1)pag2 +notario público - (notario público)2 = notario público(1 - pag).
Aunque este método es algo complicado, no es tan complicado como calcular la media y la varianza directamente de la función de probabilidad de masa.