Comprender las ecuaciones equivalentes en álgebra

Las ecuaciones equivalentes son sistemas de ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Identificar y resolver ecuaciones equivalentes es una habilidad valiosa, no solo en clase de álgebra pero también en la vida cotidiana. Eche un vistazo a ejemplos de ecuaciones equivalentes, cómo resolverlas para una o más variables y cómo podría usar esta habilidad fuera del aula.

Para llevar clave

  • Las ecuaciones equivalentes son ecuaciones algebraicas que tienen soluciones o raíces idénticas.
  • Sumar o restar el mismo número o expresión a ambos lados de una ecuación produce una ecuación equivalente.
  • Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero produce una ecuación equivalente.

Ecuaciones lineales con una variable

Los ejemplos más simples de ecuaciones equivalentes no tienen ninguna variable. Por ejemplo, estas tres ecuaciones son equivalentes entre sí:

  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5
  • 5 + 0 = 5

Reconocer que estas ecuaciones son equivalentes es genial, pero no particularmente útil. Por lo general, un problema de ecuación equivalente le pide que resuelva una variable para ver si es la misma (la misma

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raíz) como el de otra ecuación.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones son equivalentes:

  • x = 5
  • -2x = -10

En ambos casos, x = 5. Cómo sabemos esto? ¿Cómo se resuelve esto para la ecuación "-2x = -10"? El primer paso es conocer las reglas de ecuaciones equivalentes:

  • Agregando o restando el mismo número o expresión a ambos lados de una ecuación produce una ecuación equivalente.
  • Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero produce una ecuación equivalente.
  • Elevar ambos lados de la ecuación a la mismo poder extraño o tomar la misma raíz impar producirá una ecuación equivalente.
  • Si ambos lados de una ecuación no sonnegativo, elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia par o tomar la misma raíz par dará una ecuación equivalente.

Ejemplo

Poniendo en práctica estas reglas, determina si estas dos ecuaciones son equivalentes:

  • x + 2 = 7
  • 2x + 1 = 11

Para resolver esto, necesita encontrar "x" para cada ecuación. Si "x" es igual para ambas ecuaciones, entonces son equivalentes. Si "x" es diferente (es decir, las ecuaciones tienen raíces diferentes), entonces las ecuaciones no son equivalentes. Para la primera ecuación:

  • x + 2 = 7
  • x + 2 - 2 = 7 - 2 (restando ambos lados por el mismo número)
  • x = 5

Para la segunda ecuación:

  • 2x + 1 = 11
  • 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (restando ambos lados por el mismo número)
  • 2x = 10
  • 2x / 2 = 10/2 (dividiendo ambos lados de la ecuación por el mismo número)
  • x = 5

Entonces, sí, las dos ecuaciones son equivalentes porque x = 5 en cada caso.

Ecuaciones equivalentes prácticas

Puedes usar ecuaciones equivalentes en la vida diaria. Es particularmente útil cuando compras. Por ejemplo, te gusta una camisa en particular. Una compañía ofrece la camisa por $ 6 y tiene un envío de $ 12, mientras que otra compañía ofrece la camisa por $ 7.50 y tiene un envío de $ 9. ¿Qué camisa tiene el mejor precio? ¿Cuántas camisas (tal vez quieras comprar para tus amigos) tendrías que comprar para que el precio sea el mismo para ambas compañías?

Para resolver este problema, deje que "x" sea el número de camisas. Para comenzar, configure x = 1 para la compra de una camisa. Para la empresa n. ° 1:

  • Precio = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

Para la compañía # 2:

  • Precio = 7.5x + 9 = (1) (7.5) + 9 = 7.5 + 9 = $ 16.50

Entonces, si está comprando una camisa, la segunda compañía ofrece una mejor oferta.

Para encontrar el punto donde los precios son iguales, deje que "x" siga siendo el número de camisas, pero establezca las dos ecuaciones iguales entre sí. Resuelve "x" para encontrar cuántas camisas deberías comprar:

  • 6x + 12 = 7.5x + 9
  • 6x - 7.5x = 9-12 (restando los mismos números o expresiones de cada lado)
  • -1.5x = -3
  • 1.5x = 3 (dividiendo ambos lados por el mismo número, -1)
  • x = 3 / 1.5 (dividiendo ambos lados por 1.5)
  • x = 2

Si compra dos camisas, el precio es el mismo, sin importar dónde lo obtenga. Puede usar las mismas matemáticas para determinar qué compañía le ofrece un mejor trato con pedidos más grandes y también para calcular cuánto ahorrará usando una compañía sobre la otra. ¡Mira, el álgebra es útil!

Ecuaciones equivalentes con dos variables

Si tiene dos ecuaciones y dos incógnitas (x e y), puede determinar si dos conjuntos de ecuaciones lineales son equivalentes.

Por ejemplo, si te dan las ecuaciones:

  • -3x + 12y = 15
  • 7x - 10y = -2

Puede determinar si el siguiente sistema es equivalente:

  • -x + 4y = 5
  • 7x -10y = -2

A resuelve este problema, encuentre "x" e "y" para cada sistema de ecuaciones. Si los valores son iguales, entonces los sistemas de ecuaciones son equivalentes.

Comience con el primer set. Para resolver dos ecuaciones con dos variables, aislar una variable y conectar su solución a la otra ecuación. Para aislar la variable "y":

  • -3x + 12y = 15
  • -3x = 15 - 12 años
  • x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (conecte para "x" en la segunda ecuación)
  • 7x - 10y = -2
  • 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
  • -35 + 28y - 10y = -2
  • 18y = 33
  • y = 33/18 = 11/6

Ahora, vuelva a enchufar "y" en cualquiera de las ecuaciones para resolver "x":

  • 7x - 10y = -2
  • 7x = -2 + 10 (11/6)

Trabajando a través de esto, eventualmente obtendrás x = 7/3.

Para responder la pregunta, usted podría aplique los mismos principios al segundo conjunto de ecuaciones para resolver "x" e "y" para encontrar que sí, de hecho son equivalentes. Es fácil empantanarse en el álgebra, por lo que es una buena idea verificar su trabajo utilizando un solucionador de ecuaciones en línea.

Sin embargo, el estudiante inteligente notará que los dos conjuntos de ecuaciones son equivalentes. sin hacer ningún cálculo difícil en absoluto. La única diferencia entre la primera ecuación en cada conjunto es que la primera es tres veces la segunda (equivalente). La segunda ecuación es exactamente la misma.

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