¿Qué son los axiomas de probabilidad?

Una estrategia en matemáticas es comenzar con unas pocas declaraciones, luego construir más matemáticas a partir de estas declaraciones. Las declaraciones iniciales se conocen como axiomas. Un axioma es típicamente algo que es matemáticamente evidente. De una lista relativamente corta de axiomas, la lógica deductiva se usa para probar otras afirmaciones, llamadas teoremas o proposiciones.

El área de las matemáticas conocida como probabilidad no es diferente. La probabilidad puede reducirse a tres axiomas. Esto fue hecho por el matemático Andrei Kolmogorov. El puñado de axiomas que son probabilidad subyacente se puede utilizar para deducir todos ordena de resultados ¿Pero cuáles son estos axiomas de probabilidad?

Para entender los axiomas de probabilidad, primero debemos discutir algunas definiciones básicas. Suponemos que tenemos un conjunto de resultados llamado espacio muestral S. Este espacio muestral puede considerarse como el conjunto universal para la situación que estamos estudiando. El espacio muestral se compone de subconjuntos llamados eventos.

También asumimos que hay una manera de asignar una probabilidad a cualquier evento mi. Esto puede considerarse como una función que tiene un conjunto para una entrada, y un Número Real como una salida La probabilidad de eventomi se denota por PAG(mi).

El primer axioma de probabilidad es que la probabilidad de cualquier evento es un número real no negativo. Esto significa que lo más pequeño que una probabilidad puede ser es cero y que no puede ser infinito. El conjunto de números que podemos usar son números reales. Esto se refiere tanto a números racionales, también conocidos como fracciones, como a números irracionales que no pueden escribirse como fracciones.

Una cosa a tener en cuenta es que este axioma no dice nada acerca de cuán grande puede ser la probabilidad de un evento. El axioma elimina la posibilidad de probabilidades negativas. Refleja la noción de que la probabilidad más pequeña, reservada para eventos imposibles, es cero.

El segundo axioma de probabilidad es que la probabilidad de todo el espacio muestral es uno. Simbólicamente escribimos PAG(S) = 1. Implícito en este axioma está la noción de que el espacio muestral es todo lo posible para nuestro experimento de probabilidad y que no hay eventos fuera del espacio muestral.

Por sí mismo, este axioma no establece un límite superior en las probabilidades de eventos que no son todo el espacio muestral. Refleja que algo con absoluta certeza tiene una probabilidad del 100%.

El tercer axioma de probabilidad trata con eventos mutuamente excluyentes. Si mi₁ y mi₂ son mutuamente excluyentes, lo que significa que tienen una intersección vacía y usamos U para denotar la unión, luego PAG(mi₁ U mi₂ ) = PAG(mi₁) + PAG(mi₂).

El axioma en realidad cubre la situación con varios eventos (incluso contablemente infinitos), cada par de los cuales son mutuamente excluyentes. Mientras esto ocurra, el probabilidad de la unión de los eventos es lo mismo que la suma de las probabilidades:

PAG(mi₁ U mi₂ U... U mi_norte ) = PAG(mi₁) + PAG(mi₂) +... + mi_norte

Aunque este tercer axioma puede no parecer tan útil, veremos que, combinado con los otros dos axiomas, es bastante poderoso.

Los tres axiomas establecen un límite superior para la probabilidad de cualquier evento. Denotamos el complemento del evento. mi por mi^C. De la teoría de conjuntos, mi y mi^C tienen una intersección vacía y son mutuamente excluyentes. además mi U mi^C = S, todo el espacio muestral.

Estos hechos, combinados con los axiomas nos dan:

1 = PAG(S) = PAG(mi U mi^C) = PAG(mi) + PAG(mi^C) .

Reorganizamos la ecuación anterior y vemos que PAG(mi) = 1 - PAG(mi^C). Como sabemos que las probabilidades deben ser no negativas, ahora tenemos que un límite superior para la probabilidad de cualquier evento es 1.

Al reorganizar la fórmula nuevamente tenemos PAG(mi^C) = 1 - PAG(mi). También podemos deducir de esta fórmula que la probabilidad de que un evento no ocurra es uno menos la probabilidad de que ocurra.

La ecuación anterior también nos proporciona una forma de calcular la probabilidad del evento imposible, denotado por el conjunto vacío. Para ver esto, recuerde que el conjunto vacío es el complemento del conjunto universal, en este caso S^C. Desde 1 = PAG(S) + PAG(S^C) = 1 + PAG(S^C), por álgebra tenemos PAG(S^C) = 0.

Los anteriores son solo un par de ejemplos de propiedades que se pueden probar directamente de los axiomas. Hay muchos más resultados en probabilidad. Pero todos estos teoremas son extensiones lógicas de los tres axiomas de probabilidad.