Probabilidad de unión de 3 o más conjuntos

Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de su Unión se puede calcular con el regla de suma. Sabemos que para lanzar un dado, lanzar un número mayor que cuatro o un número menor que tres son eventos mutuamente excluyentes, sin nada en común. Entonces, para encontrar la probabilidad de este evento, simplemente sumamos la probabilidad de que saquemos un número mayor que cuatro a la probabilidad de que saquemos un número menor que tres. En símbolos, tenemos lo siguiente, donde la capital PAG denota "probabilidad de":

PAG(mayor que cuatro o menor que tres) = PAG(mayor que cuatro) + PAG(menos de tres) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Si los eventos son no mutuamente excluyentes, entonces no solo sumamos las probabilidades de los eventos, sino que necesitamos restar la probabilidad de intersección de los eventos. Dados los eventos UN y si:

PAG(UN U si) = PAG(UN) + PAG(si) - PAG(UN ∩ si).

Aquí explicamos la posibilidad de contar dos veces los elementos que están en ambos UN y si, y es por eso que restamos la probabilidad de la intersección.

La pregunta que surge de esto es: “¿Por qué parar con dos series? ¿Cuál es la probabilidad de la unión de más de dos conjuntos?

Extendiremos las ideas anteriores a la situación en la que tenemos tres conjuntos, que denotaremos UN, siy C. No asumiremos nada más que esto, por lo que existe la posibilidad de que los conjuntos tengan una intersección no vacía. El objetivo será calcular el probabilidad de la unión de estos tres conjuntos, o PAG (UN U si U C).

La discusión anterior para dos conjuntos aún se mantiene. Podemos sumar las probabilidades de los conjuntos individuales UN, siy C, pero al hacer esto hemos contado dos veces algunos elementos.

Los elementos en la intersección de UN y si se han contado dos veces como antes, pero ahora hay otros elementos que potencialmente se han contado dos veces. Los elementos en la intersección de UN y C y en la intersección de si y C ahora también se han contado dos veces. Entonces el probabilidades de estas intersecciones también se deben restar.

¿Pero hemos restado demasiado? Hay algo nuevo a considerar que no teníamos que preocuparnos cuando solo había dos sets. Al igual que dos conjuntos pueden tener una intersección, los tres conjuntos también pueden tener una intersección. Al tratar de asegurarnos de que no contamos el doble de nada, no hemos contado todos los elementos que aparecen en los tres conjuntos. Por lo tanto, la probabilidad de la intersección de los tres conjuntos debe agregarse nuevamente.

Aquí está la fórmula que se deriva de la discusión anterior:

PAG (UN U si U C) = PAG(UN) + PAG(si) + PAG(C) - PAG(UN ∩ si) - PAG(UN ∩ C) - PAG(si ∩ C) + PAG(UN ∩ si ∩ C)

Para ver la fórmula de la probabilidad de la unión de tres conjuntos, supongamos que estamos jugando un juego de mesa que involucra tirar dos dados. Debido a las reglas del juego, necesitamos que al menos uno de los dados sea un dos, tres o cuatro para ganar. ¿Cuál es la probabilidad de esto? Notamos que estamos tratando de calcular la probabilidad de la unión de tres eventos: tirar al menos uno dos, tirar al menos uno tres, tirar al menos uno cuatro. Entonces podemos usar la fórmula anterior con las siguientes probabilidades:

• La probabilidad de sacar un dos es 11/36. El numerador aquí proviene del hecho de que hay seis resultados en los que el primer dado es un dos, seis en los que el segundo dado es un dos y un resultado donde ambos dados son dos. Esto nos da 6 + 6 - 1 = 11.
• La probabilidad de sacar un tres es 11/36, por la misma razón que arriba.
• La probabilidad de sacar un cuatro es 11/36, por la misma razón que arriba.
• La probabilidad de sacar un dos y un tres es 2/36. Aquí podemos simplemente enumerar las posibilidades, las dos podrían ser lo primero o lo segundo.
• La probabilidad de sacar un dos y un cuatro es 2/36, por la misma razón que la probabilidad de un dos y un tres es 2/36.
• La probabilidad de lanzar un dos, tres y un cuatro es 0 porque solo lanzamos dos dados y no hay forma de obtener tres números con dos dados.

Ahora usamos la fórmula y vemos que la probabilidad de obtener al menos un dos, un tres o un cuatro es

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

La razón por la cual la fórmula para la probabilidad de la unión de cuatro conjuntos tiene su forma es similar al razonamiento de la fórmula para tres conjuntos. A medida que aumenta el número de series, también aumenta el número de pares, triples, etc. Con cuatro conjuntos, hay seis intersecciones por pares que se deben restar, cuatro intersecciones triples para volver a sumar y ahora una intersección cuádruple que se debe restar. Dado cuatro conjuntos UN, si, C y re, la fórmula para la unión de estos conjuntos es la siguiente:

PAG (UN U si U C U re) = PAG(UN) + PAG(si) + PAG(C) +PAG(re) - PAG(UN ∩ si) - PAG(UN ∩ C) - PAG(UN ∩ re)- PAG(si ∩ C) - PAG(si ∩ re) - PAG(C ∩ re) + PAG(UN ∩ si ∩ C) + PAG(UN ∩ si ∩ re) + PAG(UN ∩ C ∩ re) + PAG(si ∩ C ∩ re) - PAG(UN ∩ si ∩ C ∩ re).

Podríamos escribir fórmulas (que se verían aún más aterradoras que la anterior) para la probabilidad de la unión de más de cuatro conjuntos, pero al estudiar las fórmulas anteriores deberíamos notar algunos patrones. Estos patrones son válidos para calcular uniones de más de cuatro conjuntos. La probabilidad de la unión de cualquier número de conjuntos se puede encontrar de la siguiente manera:

1. Agregue las probabilidades de los eventos individuales.
2. Restar el probabilidades de las intersecciones de cada par de eventos.
3. Agregue las probabilidades de la intersección de cada conjunto de tres eventos.
4. Resta las probabilidades de la intersección de cada conjunto de cuatro eventos.
5. Continúe este proceso hasta que la última probabilidad sea la probabilidad de la intersección del número total de conjuntos con los que comenzamos.