¿Qué son las funciones de crecimiento exponencial?

Las funciones exponenciales cuentan historias de cambios explosivos. Los dos tipos de funciones exponenciales son crecimiento exponencial y Decrecimiento exponencial. Cuatro variables (cambio porcentual, tiempo, la cantidad al comienzo del período de tiempo y la cantidad al final del período de tiempo) desempeñan papeles en funciones exponenciales. Lo siguiente se enfoca en usar funciones de crecimiento exponencial para hacer predicciones.

El crecimiento exponencial es el cambio que ocurre cuando una cantidad original se incrementa en una tasa constante durante un período de tiempo

Usos del crecimiento exponencial en la vida real:

• Valores de precios de la vivienda
• Valores de inversiones
• Mayor membresía de un sitio popular de redes sociales

Edloe and Co. se basa en la publicidad de boca en boca, la red social original. Cincuenta compradores le dijeron a cinco personas cada uno, y luego cada uno de esos nuevos compradores le dijo a cinco personas más, y así sucesivamente. El gerente registró el crecimiento de los compradores de la tienda.

• Semana 0: 50 compradores
• Semana 1: 250 compradores
• Semana 2: 1.250 compradores
• Semana 3: 6.250 compradores
• Semana 4: 31,250 compradores

Primero, ¿cómo sabes que estos datos representan crecimiento exponencial? Hazte dos preguntas.

1. ¿Están aumentando los valores? si
2. ¿Los valores demuestran un aumento porcentual constante? si.

Incremento porcentual: (Más nuevo - Más viejo) / (Más viejo) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4.00 = 400%

Verifique que el aumento porcentual persista durante todo el mes:

Incremento porcentual: (Más nuevo - Más viejo) / (Más viejo) = (1,250 - 250) / 250 = 4.00 = 400%
Incremento porcentual: (Más nuevo - Más viejo) / (Más viejo) = (6,250 - 1,250) / 1,250 = 4.00 = 400%

Cuidado: no confunda el crecimiento exponencial y lineal.

Lo siguiente representa crecimiento lineal:

• Semana 1: 50 compradores
• Semana 2: 50 compradores
• Semana 3: 50 compradores
• Semana 4: 50 compradores

Nota: Crecimiento lineal significa un número constante de clientes (50 compradores por semana); El crecimiento exponencial significa un aumento porcentual constante (400%) de los clientes.

Aquí hay una función de crecimiento exponencial:

y = un(1 + b)^X

• y: Importe final restante durante un período de tiempo
• un: La cantidad original
• X: Hora
• los factor de crecimiento es (1 + si).
• La variable, si, es el cambio porcentual en forma decimal.

Rellenar los espacios en blanco:

• un = 50 compradores
• si = 4.00

y = 50(1 + 4)^X

Nota: No complete valores para X y y. Los valores de X y y cambiará a lo largo de la función, pero la cantidad original y el cambio porcentual permanecerán constantes.

Suponga que la recesión, el principal impulsor de los compradores a la tienda, persiste durante 24 semanas. ¿Cuántos compradores semanales tendrá la tienda durante el 8?^th ¿semana?

Cuidado, no duplique el número de compradores en la semana 4 (31,250 * 2 = 62,500) y crea que es la respuesta correcta. Recuerde, este artículo trata sobre el crecimiento exponencial, no el crecimiento lineal.

Utilice el orden de operaciones para simplificar.

y = 50(1 + 4)^X

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Paréntesis)

y = 50 (390,625) (exponente)

y = 19,531,250 (multiplicar)

19,531,250 compradores

Antes del comienzo de la recesión, los ingresos mensuales de la tienda rondaban los $ 800,000. Una tienda ingresos es el monto total en dólares que los clientes gastan en la tienda en bienes y servicios.

Ingresos de Edloe y Co.

• Antes de la recesión: $ 800,000
• 1 mes después de la recesión: $ 880,000
• 2 meses después de la recesión: $ 968,000
• 3 meses después de la recesión: $ 1,171,280
• 4 meses después de la recesión: $ 1,288,408

Use la información sobre los ingresos de Edloe and Co para completar del 1 al 7.

1. ¿Cuáles son los ingresos originales?
2. ¿Cuál es el factor de crecimiento?
3. ¿Cómo modela este dato el crecimiento exponencial?
4. Escribe una función exponencial que describa estos datos.
5. Escriba una función para predecir los ingresos en el quinto mes después del inicio de la recesión.
6. ¿Cuáles son los ingresos en el quinto mes después del inicio de la recesión?
7. Suponga que el dominio de esta función exponencial es de 16 meses. En otras palabras, suponga que la recesión durará 16 meses. ¿En qué punto los ingresos superarán los 3 millones de dólares?