Encontrar condiciones para devoluciones de factores y devoluciones de escala

Un factor de retorno es el rendimiento atribuible a un factor común en particular, o un elemento que influye en muchos activos que pueden incluir factores como la capitalización de mercado, el rendimiento de dividendos y los índices de riesgo, por nombrar algunos. Los rendimientos a escala, por otro lado, se refieren a lo que sucede a medida que la escala de producción aumenta a largo plazo ya que todos los insumos son variables. En otras palabras, los rendimientos de escala representan el cambio en la producción de un aumento proporcional en todas las entradas.

Para poner estos conceptos en juego, echemos un vistazo a una función de producción con un problema de práctica de retornos de factores y escalas.

Considera el función de producciónQ = K^unL^si.

Como estudiante de economía, se le puede pedir que encuentre condiciones sobre un y si tal que la función de producción exhibe rendimientos decrecientes para cada factor, pero rendimientos crecientes a escala. Veamos cómo puedes abordar esto.

Recordemos que en el artículo Rendimientos crecientes, decrecientes y constantes a escala que podemos responder fácilmente a estas preguntas sobre los retornos de factores y los retornos de escala simplemente duplicando los factores necesarios y haciendo algunas sustituciones simples.

Creciente vuelve a escala sería cuando doblamos todos factores y producción más que duplica. En nuestro ejemplo tenemos dos factores K y L, por lo que duplicaremos K y L y veremos qué sucede:

Q = K^unL^si

Ahora dupliquemos todos nuestros factores y llamemos a esta nueva función de producción Q '

Q '= (2K)^un(2L)^si

Reorganizar conduce a:

Q '= 2^{a + b}K^unL^si

Ahora podemos sustituir de nuevo en nuestra función de producción original, Q:

Q '= 2^{a + b}Q

Para obtener Q '> 2Q, necesitamos 2^{(a + b)} > 2. Esto ocurre cuando a + b> 1.

Mientras a + b> 1, tendremos rendimientos crecientes a escala.

Pero por nuestro problema de práctica, también necesitamos rendimientos decrecientes a escala en cada factor. Los rendimientos decrecientes para cada factor ocurren cuando duplicamos solo un factor, y la salida es menos del doble. Probemos primero para K usando la función de producción original: Q = K^unL^si

Ahora dejemos doble K, y llamemos a esta nueva función de producción Q '

Q '= (2K)^unL^si

Reorganizar conduce a:

Q '= 2^unK^unL^si

Ahora podemos sustituir de nuevo en nuestra función de producción original, Q:

Q '= 2^unQ

Para obtener 2Q> Q '(ya que queremos rendimientos decrecientes para este factor), necesitamos 2> 2^un. Esto ocurre cuando 1> a.

La matemática es similar para el factor L cuando se considera la función de producción original: Q = K^unL^si

Ahora dejemos doble L, y llamemos a esta nueva función de producción Q '

Q '= K^un(2L)^si

Reorganizar conduce a:

Q '= 2^siK^unL^si

Ahora podemos sustituir de nuevo en nuestra función de producción original, Q:

Q '= 2^siQ

Para obtener 2Q> Q '(ya que queremos rendimientos decrecientes para este factor), necesitamos 2> 2^un. Esto ocurre cuando 1> b.

Entonces están tus condiciones. Necesita a + b> 1, 1> a y 1> b para exhibir rendimientos decrecientes para cada factor de la función, pero rendimientos crecientes a escala. Al duplicar los factores, podemos crear fácilmente condiciones en las que tengamos rendimientos crecientes de escala en general, pero rendimientos decrecientes de escala en cada factor.

• Problema de práctica de la elasticidad de la demanda
• Demanda agregada y problema de práctica de oferta agregada