Uso de funciones de utilidad cuasiconcavas en economía

"Cuasiconcava" es un concepto matemático que tiene varias aplicaciones en economía. Para comprender la importancia de las aplicaciones del término en economía, es útil comenzar con una breve consideración de los orígenes y el significado del término en matemáticas.

El término "cuasiconcava" se introdujo a principios del siglo XX en el trabajo de John von Neumann, Werner Fenchel y Bruno de Finetti, todos prominentes matemáticos con intereses tanto en matemática teórica como aplicada, su investigación en campos como la teoría de probabilidad, teoría de juegos y topología finalmente sentó las bases para un campo de investigación independiente conocido como "convexidad generalizada". Mientras que el término "cuasiconcava: tiene aplicaciones en muchas áreas, incluso ciencias económicas, se origina en el campo de la convexidad generalizada como concepto topológico.

La breve y legible explicación de la topología del profesor de matemáticas Wayne State Robert Bruner comienza con el entendimiento de que la topología es una forma especial de

Esto suena un poco extraño, pero considera que si tomas un círculo y comienzas a aplastar desde cuatro direcciones, con un aplastamiento cuidadoso puedes producir un cuadrado. Por lo tanto, un cuadrado y un círculo son topológicamente equivalentes. Del mismo modo, si dobla un lado de un triángulo hasta que haya creado otra esquina en algún lugar a lo largo de ese lado, con más flexión, empuje y tracción, puede convertir un triángulo en un cuadrado. De nuevo, un triángulo y un cuadrado son topológicamente equivalentes.

La cuasiconcava es una propiedad topológica que incluye la concavidad. Si grafica una función matemática y el gráfico se parece más o menos a un tazón mal hecho con algunos golpes en él, pero todavía tiene una depresión en el centro y dos extremos que se inclinan hacia arriba, esa es una función cuasiconcava.

Resulta que una función cóncava es solo una instancia específica de una función cuasiconcava, una sin las protuberancias. Desde la perspectiva de un laico (un matemático tiene una forma más rigurosa de expresarlo), una función cuasiconcava incluye todas las funciones cóncavas y también todas las funciones que en general son cóncavas pero que pueden tener secciones que son realmente convexo. Nuevamente, imagina un tazón mal hecho con algunas protuberancias y protuberancias.

Una forma de representar matemáticamente las preferencias del consumidor (así como muchos otros comportamientos) es con un función de utilidad. Si, por ejemplo, los consumidores prefieren el bien A al bien B, la función de utilidad U expresa esa preferencia como:

U (A)> U (B)

Si representa gráficamente esta función para un conjunto de consumidores y bienes del mundo real, puede encontrar que el gráfico se parece un poco a un tazón; en lugar de una línea recta, hay una caída en el medio. Esta caída generalmente representa la aversión de los consumidores al riesgo. Nuevamente, en el mundo real, esta aversión no es consistente: el gráfico de preferencias del consumidor se parece un poco a un tazón imperfecto, uno con una serie de golpes. En lugar de ser cóncavo, entonces es generalmente cóncavo, pero no perfectamente, en todos los puntos del gráfico, que pueden tener secciones menores de convexidad.

En otras palabras, nuestro gráfico de ejemplo de las preferencias del consumidor (al igual que muchos ejemplos del mundo real) es casi una cueva. Le dicen a cualquiera que quiera saber más sobre el comportamiento del consumidor (por ejemplo, economistas y corporaciones que venden bienes de consumo) dónde y cómo responden los clientes a los cambios en buenas cantidades o costos.